【概述】

如果一個(gè)系統(tǒng)由 n 個(gè)變量 m 個(gè)約束條件組成，形成 m 個(gè)形如??的不等式，其中?，k 是常數(shù)，則稱這 m 個(gè)不等式為差分約束系統(tǒng)（system of difference constraints），亦即，差分約束系統(tǒng)是求解關(guān)于一組變量的特殊不等式組的方法。

如下圖，就是一個(gè)差分約束系統(tǒng)

【求解方法】

差分約束系統(tǒng)的求解可以轉(zhuǎn)化為圖論的最短路來(lái)解決。

對(duì)于三角不等式，有：

• B - A <= c ①
• C - B <= a ②
• C - A <= b ③

若要求 C-A 的最大值，由 ①+②

易知：

• C-A<=c+a
• C-A<=b

由不等式基本原理可得：max（C-A）= min(b,a+c)，即對(duì)應(yīng)下圖 C 到 A 的最短路。?

因此對(duì)于最短路徑：d(v) <= d(u) + w(u, v) ，移項(xiàng)得：d(v) - d(u) <= w(u, v)，其形式與 x-y<=b 相同。

因此，對(duì)三角不等式加以推廣，當(dāng)有 n 個(gè)變量 m 個(gè)不等式，要求 Xn-X1 的最大值，就是求建圖后的最短路，同樣地，若要求取差分約束系統(tǒng)中 Xn-X1 的最小值，就是求建圖后的最長(zhǎng)路。

如果建圖后對(duì)最短路的求取存在負(fù)環(huán)，則說(shuō)明該差分約束系統(tǒng)無(wú)解。

【建圖與具體實(shí)現(xiàn)】

求解差分約束系統(tǒng)的關(guān)鍵在于建圖，建好圖后使用 SPFA 算法直接判斷有無(wú)負(fù)環(huán)即可判斷該差分約束系統(tǒng)有無(wú)解。

具體方法：

1.新建一個(gè)圖，n 個(gè)變量看作 n 個(gè)點(diǎn)，m 個(gè)約束條件作為 m 條邊，每個(gè)頂點(diǎn) Vi 分別對(duì)于一個(gè)未知量，每個(gè)有向邊對(duì)應(yīng)兩個(gè)未知量的不等式。

? 1）對(duì)于?<= 的不等式，形如：dis[j]-dis[i]<=w，可化為 dis[j]<=dis[i]+w，建立從 i 到 j 權(quán)值為 w 的邊

? 2）對(duì)于 >= 的不等式，形如：dis[j]-dis[i]>=w，可化為 dis[i]<=dis[j]-w，建立從 j 到 i 權(quán)值為 -w 的邊

2.根據(jù)約束條件，進(jìn)行初始化

? 1）若求差最大，則：dis[1]=0 且 dis[i]=INF

? 2）若求差最小，則：dis[1]=0 且 dis[i]=-INF

3.根據(jù)實(shí)際情況判斷是否需要添加超級(jí)源點(diǎn) Vs（0 號(hào)點(diǎn)）

? 1）若建成的圖能保證連通，則直接求最短路即可，若建成的圖不是連通圖，為保證圖的連通性，需要加一個(gè)源點(diǎn) Vs，從 Vs?到任意點(diǎn) Vi 的邊權(quán)為 0，即：W(Vs,Vi)=0，然后從該點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行計(jì)算，那么最終求出源點(diǎn) Vs 到其他所有點(diǎn)的最短距離就是差分約束系統(tǒng)的一個(gè)可行解，且可行解之間的差距最小。

? ? ? ?原因：添加從虛點(diǎn) Vs 到各個(gè)頂點(diǎn) Vi 的權(quán)為 0 的邊，是為了保證構(gòu)造出的圖是連通的，且由于虛點(diǎn)本身并不引入負(fù)環(huán)，因此設(shè)置虛點(diǎn) Vs 后最短路仍然存在且每個(gè)約束仍滿足。

? 2）若不添加超級(jí)源點(diǎn)，只是將初始距離設(shè)為 INF，且令其中一個(gè)點(diǎn)的初始距離為 0，然后就該點(diǎn)到其他所有點(diǎn)的最短距離，那么最短距離的集合就是一個(gè)可行解，且該可行解兩兩之間差距最大。

適用情況：保證問(wèn)題一定存在解，即：不存在負(fù)環(huán)（否則從 1 號(hào)點(diǎn)到其他點(diǎn)沒(méi)有路，但其他點(diǎn)的強(qiáng)連通分量中有負(fù)環(huán)）

4.根據(jù)結(jié)果進(jìn)行解的判斷

1）若源點(diǎn) Vs 到某點(diǎn) Xi 不存在最短路徑，即：dis[Xi]=INF，則表示該點(diǎn) Xi 表示的變量可取任意解，均能滿足差分約束的要求

2）若存在源點(diǎn) Vs 到某點(diǎn) Xi 的最短路徑，則得到該點(diǎn) Xi 表示的變量的最大值

3）若求最短路的過(guò)程中出現(xiàn)負(fù)環(huán)，則該差分約束系統(tǒng)無(wú)解。

注：若所有的未知量都是正數(shù)，則不會(huì)存在負(fù)環(huán)，使用 Dijkstra 求解單源最短路即可；若存在負(fù)數(shù)，需使用 SPFA 來(lái)求解，判斷有無(wú)負(fù)環(huán)

【模版】

1.Dijkstra 求解

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<queue> #define INF 0x3f3f3f3f #define N 1000001 struct Edge{int from;int to;int w;Edge(){}Edge(int from,int to,int w):from(from),to(to),w(w){} }edge[N]; int head[N],next[N],num; int dis[N]; bool vis[N]; void add(int from,int to,int w){edge[num]=Edge(from,to,w);next[num]=head[from];head[from]=num++; } struct HeapNode{int dis;int x;HeapNode(int dis,int x):dis(dis),x(x){}bool operator < (const HeapNode &rhs) const{return dis>rhs.dis;} }; int dijkstra(int n){for(int i=0;i<n;i++)dis[i]=INF;dis[0]=0;priority_queue<HeapNode> Q;Q.push(HeapNode(dis[0],0));while(!Q.empty()){HeapNode x=Q.top();Q.pop();int u=x.x;if(vis[u])continue;vis[u]=true;for(int i=head[u];i!=-1;i=next[i]){Edge &e=edge[i];if(dis[e.to]>dis[u]+e.w){dis[e.to]=dis[u]+e.w;Q.push(HeapNode(dis[e.to],e.to));}}}return dis[n-1]; } int main(){int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);num=0;memset(head,-1,sizeof(head));while(m--){int x,y,w;scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);x--,y--;add(x,y,w);}int res=dijkstra(n);if(res==INF)printf("arbitrary");else//源點(diǎn)到終點(diǎn)的最大值printf("%d\n",res);return 0; }

2.SPFA 求解

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<queue> #define INF 0x3f3f3f3f #define N 10001 struct Edge{int from;int to;int w;Edge(){}Edge(int from,int to,int w):from(from),to(to),w(w){} }edge[N]; int head[N],next[N],num; int dis[N]; int outque[N];//記錄出隊(duì)次數(shù) bool vis[N]; void init(){num=0;memset(head,-1,sizeof(head)); } void add(int from,int to,int w){edge[num]=Edge(from,to,w);next[num]=head[from];head[from]=num++; } void SPFA(int s,int n){int res=0;memset(vis,false,sizeof(vis));memset(outque,0,sizeof(outque));for(int i=1;i<n;i++)dis[i]=INF;dis[s]=0;vis[s]=true;queue<int> Q;Q.push(s);while(!Q.empty()){int x=Q.front();Q.pop();vis[x]=false;outque[x]++;if(outque[x]>n-1){//如果出隊(duì)次數(shù)大于n,說(shuō)明存在負(fù)環(huán)res=-1;break;}for(int i=head[x];i!=-1;i=next[i]){Edge &e=edge[i];if(dis[e.to]>dis[x]+e.w){dis[e.to]=dis[x]+e.w;if(!vis[e.to]){vis[e.to]=true;Q.push(e.to);}}}}if(res==-1)//出現(xiàn)負(fù)環(huán),不存在可行解printf("-1\n");else if(dis[n]==INF)//可取任意值printf("arbitrary\n");else//源點(diǎn)s到終點(diǎn)的最大值printf("%d\n",dis[n]); } int main(){int n,m;while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){init();for(int i=0;i<m;i++){int x,y,w;scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);add(x,y,w);//建邊x-y<=w}//虛擬節(jié)點(diǎn)0號(hào)到各點(diǎn)的邊//for(int i=1;i<=n;i++)//add(0,i,0);SPFA(1,n);//求源點(diǎn)s到終點(diǎn)的最大值，若添加虛擬節(jié)點(diǎn)0號(hào)后，需改為SPFA(0,n+1)}return 0; }

【例題】

Candies（POJ-3159）(Dijkstra)：點(diǎn)擊這里

Layout（POJ-3169）(SPFA)：點(diǎn)擊這里

Is the Information Reliable?（POJ-2983）(SPFA+超級(jí)源點(diǎn))：點(diǎn)擊這里

King（POJ-1364）(SPFA+超級(jí)源點(diǎn))：點(diǎn)擊這里

Instrction Arrangement（HDU-4109）(SPFA+超級(jí)源點(diǎn))：點(diǎn)擊這里

Schedule Problem（HDU-1534）(SPFA+超級(jí)源點(diǎn))：點(diǎn)擊這里

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的图论 —— 差分约束系统的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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