【直線分平面問題】

問題：n條直線，最多可以把平面分為多少個區域。

解：當有n-1條直線時，平面最多被分成了f(n-1)個區域。則第n條直線要是切成的區域數最多，就必須與每條直線相交且不能有同一交點。 這樣就會得到n-1個交點。這些交點將第n條直線分為2條射線和n-2條線段。而每條射線和線段將以有的區域一分為二。這樣就多出了2+(n-2)個區域。

如圖：第四條紅色的線與其他3條線生成了3個交點，生成了兩條射線兩條線段，這兩條射線兩條線段將下面的區域被分成了四份，即多出了四個區域。

故：f(n)=f(n-1)+n

???????? ?? =f(n-2)+(n-1)+n
???????? ?????????????……
???????? ???=f(1)+1+2+……+n

???????? ???=n(n+1)/2+1

遞推公式：f(n)=n(n+1)/2+1

【折線分平面問題】

問題：n條折線，最多可以把平面分為多少個區域。

解：根據直線分平面可知，由交點決定了射線和線段的條數，進而決定了新增的區域數。當n-1條折線時，區域數為f（n-1）。為了使增加的區域最多，則折線的兩邊的線段要和n-1條折線的邊，即2*（n-1）條線段相交。那么新增的線段數為4*（n-1），射線數為2。但要注意的是，折線本身相鄰的兩線段只能增加一個區域。

如圖，紅色的折線代表新畫的折線，由于這是第二條折線，那么原來就有（2-1）2條線段，紅色的折線應和這（2-1）2條折線都相交，生成的是4（2-1）個交點，其中，兩條射線，4（2-1）條線段，多出來的區域便為4（2-1）+2，其中折線本身相鄰的兩線段只能增加一個區域，故還應該減去一。

故：f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1

? ? ????????=f(n-1)+4(n-1)+1

?? ?????????=f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2

?? ?????????????????????????……

?? ?????????=f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)

?? ?????????=2n^2-n+1

遞推公式：f(n)=2n^2-n+1

【封閉曲線分平面問題】

問題：n條封閉曲線，任何兩條封閉曲線恰好相交于兩點，且任何三條封閉曲線不相交于同一點，問這些封閉曲線把平面分割成的區域個數。

解：當n-1個圓時，區域數為f(n-1).那么第n個圓就必須與前n-1個圓相交，則第n個圓被分為2（n-1）段線段，增加了2（n-1）個區域。

如圖：紅色的圓是第三個圓，在此之前有兩個，和之前那兩個生成的交點有2×2個，多出來的區域就也為2×2個。

故： f(n)=f(n-1)+2(n-1)

????????? ? =f(n-2)+2(n-2)+2(n-1)

????????????????????????? ?......

?? ?????????=f(1)+2+4+……+2(n-1)

?? ?????????=n^2-n+2

遞推公式：f(n)=n^2-n+2

【平面分割空間問題】

問題：n個平面，最多可以把空間分為多少個區域。

解：由二維的分割問題可知，平面分割與線之間的交點有關，即交點決定射線和線段的條數，從而決定新增的區域數。試想在三維中則是否與平面的交線有關？當有n-1個平面時，分割的空間數為f(n-1)。要有最多的空間數，則第n個平面需與前n-1個平面相交，且不能有共同的交線。即最多有n-1條交線。而這n-1條交線把第n個平面最多分割成g(n-1)個區域。（g(n)為n條直線分平面的個數 ）此平面將原有的空間一分為二，則最多增加g(n-1)個空間。

故：f(n)=f(n-1)+g(n-1)

????? ? ? ? =f(n-2)+g(n-2)+g(n-1)

????? ? ? ? ? ? ????????……

????????????=f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)

????????????=2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+（n-1）

????????????=(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1

????????????=(n^3+5n)/6+1

PS：g(n)=n(n+1)/2+1

遞推公式：f(n)=(n^3+5n)/6+1

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学 —— 计算几何 —— 平面分割问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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