动态规划 —— 背包问题 P03 —— 多重背包
【題目】
有 N 種物品和一個(gè)容量為 V 的背包。第 i 種物品最多有 num[i] 件可用,每件體積是 w[i],價(jià)值是 c[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費(fèi)用總和不超過(guò)背包容量,且價(jià)值總和最大。
【基本思路】
和完全背包問(wèn)題很類似,基本的方程只需將完全背包問(wèn)題的方程略微一改即可。
對(duì)于第 i 種物品有 num[i]+1種策略:取 0 件,取 1 件……取 num[i] 件,令 f[i][v] 表示前 i 種物品恰放入一個(gè)容量為 V 的背包的最大權(quán)值。
其與完全背包的區(qū)別在于,完全背包中的物品是不限量的,而多重背包的第 i 種物品最多取 num[i] 個(gè)
則有狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程:f[i][v]=max{ f[i-1][v-k*w[i]]+k*c[i]?}(0<=k<=num[i]),時(shí)間復(fù)雜度是O(V*Σn[i])
考慮對(duì) f[i][j] 進(jìn)行空間優(yōu)化,與完全背包
模版
for(i=1;i<=N;i++)//N種物品for(j=V;j>=0;j--)//容量為Vfor(k=0;k<=num[i];k++)//每種物品最多有num[i]個(gè)if(j-k*w[i]>=0)//當(dāng)前容量-k個(gè)物品的重量>=0f[j]=max(f[j],f[j-k*w[i]]+k*c[i]);【轉(zhuǎn)化為01背包問(wèn)題求解】
轉(zhuǎn)化為01背包求解:把第i種物品換成n[i]件01背包中的物品,則得到了物品數(shù)為Σn[i]的0-1背包問(wèn)題,直接求解,復(fù)雜度仍然是O(V*Σn[i])。
我們期望將它轉(zhuǎn)化為01背包問(wèn)題之后能夠像完全背包一樣降低復(fù)雜度。仍然考慮二進(jìn)制的思想,我們考慮把第i種物品換成若干件物品,使得原問(wèn)題中第i種物品可取的每種策略——取0..n[i]件——均能等價(jià)于取若干件代換以后的物品。另外,取超過(guò)n[i]件的策略必不能出現(xiàn)。
方法:將第i種物品分成若干件物品,其中每件物品有一個(gè)系數(shù),這件物品的體積和價(jià)值均是原來(lái)的體積和價(jià)值乘以這個(gè)系數(shù)。使這些系數(shù)分別為:1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1,且k是滿足n[i]-2^k+1>0的最大整數(shù)。
例如,如果n[i]為13,就將這種物品分成系數(shù)分別為1,2,4,6的四件物品。
分成的這幾件物品的系數(shù)和為n[i],表明不可能取多于n[i]件的第i種物品。另外這種方法也能保證對(duì)于0..n[i]間的每一個(gè)整數(shù),均可以用若干個(gè)系數(shù)的和表示,這個(gè)證明可以分0..2^k-1和2^k..n[i]兩段來(lái)分別討論得出。
這樣就將第i種物品分成了O(log n[i])種物品,將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了復(fù)雜度為O(V*Σlog n[i])的01背包問(wèn)題,是很大的改進(jìn)。
下面給出O(log amount)時(shí)間處理一件多重背包中物品的偽代碼:
/*amount表示物品的數(shù)量*/ procedure MultiplePack(cost,weight,amount)if weight*amount>=VCompletePack(cost,weight)returninteger k=1while k<numZeroOnePack(k*cost,k*weight)amount=amount-kk=k*2ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)?
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的动态规划 —— 背包问题 P03 —— 多重背包的全部?jī)?nèi)容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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