【題目】

有 N 種物品和一個(gè)容量為 V 的背包。第 i 種物品最多有 num[i] 件可用，每件體積是 w[i]，價(jià)值是 c[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費(fèi)用總和不超過(guò)背包容量，且價(jià)值總和最大。

【基本思路】

和完全背包問(wèn)題很類似，基本的方程只需將完全背包問(wèn)題的方程略微一改即可。

對(duì)于第 i 種物品有 num[i]+1種策略：取 0 件，取 1 件……取 num[i] 件，令 f[i][v] 表示前 i 種物品恰放入一個(gè)容量為 V 的背包的最大權(quán)值。

其與完全背包的區(qū)別在于，完全背包中的物品是不限量的，而多重背包的第 i 種物品最多取 num[i] 個(gè)

則有狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：f[i][v]=max{ f[i-1][v-k*w[i]]+k*c[i]?}（0<=k<=num[i]），時(shí)間復(fù)雜度是O(V*Σn[i])

考慮對(duì) f[i][j] 進(jìn)行空間優(yōu)化，與完全背包

模版

for(i=1;i<=N;i++)//N種物品for(j=V;j>=0;j--)//容量為Vfor(k=0;k<=num[i];k++)//每種物品最多有num[i]個(gè)if(j-k*w[i]>=0)//當(dāng)前容量-k個(gè)物品的重量>=0f[j]=max(f[j],f[j-k*w[i]]+k*c[i]);

【轉(zhuǎn)化為01背包問(wèn)題求解】

轉(zhuǎn)化為01背包求解：把第i種物品換成n[i]件01背包中的物品，則得到了物品數(shù)為Σn[i]的0-1背包問(wèn)題，直接求解，復(fù)雜度仍然是O(V*Σn[i])。

我們期望將它轉(zhuǎn)化為01背包問(wèn)題之后能夠像完全背包一樣降低復(fù)雜度。仍然考慮二進(jìn)制的思想，我們考慮把第i種物品換成若干件物品，使得原問(wèn)題中第i種物品可取的每種策略——取0..n[i]件——均能等價(jià)于取若干件代換以后的物品。另外，取超過(guò)n[i]件的策略必不能出現(xiàn)。

方法：將第i種物品分成若干件物品，其中每件物品有一個(gè)系數(shù)，這件物品的體積和價(jià)值均是原來(lái)的體積和價(jià)值乘以這個(gè)系數(shù)。使這些系數(shù)分別為：1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是滿足n[i]-2^k+1>0的最大整數(shù)。

例如，如果n[i]為13，就將這種物品分成系數(shù)分別為1,2,4,6的四件物品。

分成的這幾件物品的系數(shù)和為n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i種物品。另外這種方法也能保證對(duì)于0..n[i]間的每一個(gè)整數(shù)，均可以用若干個(gè)系數(shù)的和表示，這個(gè)證明可以分0..2^k-1和2^k..n[i]兩段來(lái)分別討論得出。

這樣就將第i種物品分成了O(log n[i])種物品，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了復(fù)雜度為O(V*Σlog n[i])的01背包問(wèn)題，是很大的改進(jìn)。

下面給出O(log amount)時(shí)間處理一件多重背包中物品的偽代碼：

/*amount表示物品的數(shù)量*/ procedure MultiplePack(cost,weight,amount)if weight*amount>=VCompletePack(cost,weight)returninteger k=1while k<numZeroOnePack(k*cost,k*weight)amount=amount-kk=k*2ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)

?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划 —— 背包问题 P03 —— 多重背包的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。