算法定義

? ?算法由控制結(jié)構(gòu)（順序、分支和循環(huán)3種）和原操作（指固有數(shù)據(jù)類型的操作）構(gòu)成的，則算法時(shí)間取決于兩者的綜合效果。為了便于比較同一個(gè)問(wèn)題的不同算法，通常的做法是，從算法中選取一種對(duì)于所研究的問(wèn)題（或算法類型）來(lái)說(shuō)是基本操作的原操作，以該基本操作的重復(fù)執(zhí)行的次數(shù)作為算法的時(shí)間量度。不同的算法可能用不同的時(shí)間、空間或效率來(lái)完成同樣的任務(wù)，一個(gè)算法的優(yōu)劣可以用空間復(fù)雜度與時(shí)間復(fù)雜度來(lái)衡量.

時(shí)間復(fù)雜度

1、時(shí)間頻度：一個(gè)算法執(zhí)行所耗費(fèi)的時(shí)間，在理論上是不能算出來(lái)的，必須上機(jī)運(yùn)行測(cè)試才能知道。但我們不可能也沒(méi)有必要對(duì)每個(gè)算法都上機(jī)測(cè)試，只需知道哪個(gè)算法花費(fèi)的時(shí)間多，哪個(gè)算法花費(fèi)的時(shí)間少就可以了。并且一個(gè)算法花費(fèi)的時(shí)間與算法中語(yǔ)句的執(zhí)行次數(shù)成正比例，哪個(gè)算法中語(yǔ)句執(zhí)行次數(shù)多，它花費(fèi)時(shí)間就多。一個(gè)算法中的語(yǔ)句執(zhí)行次數(shù)稱為語(yǔ)句頻度或時(shí)間頻度。記為T(n)。

2、時(shí)間復(fù)雜度：在時(shí)間頻度中，n稱為問(wèn)題的規(guī)模，當(dāng)n不斷變化時(shí)，時(shí)間頻度T(n)也會(huì)不斷變化。但有時(shí)我們想知道它變化時(shí)呈現(xiàn)什么規(guī)律。為此，我們引入時(shí)間復(fù)雜度概念。 一般情況下，算法中基本操作重復(fù)執(zhí)行的次數(shù)是問(wèn)題規(guī)模n的某個(gè)函數(shù)，用T(n)表示，若有某個(gè)輔助函數(shù)f(n),使得當(dāng)n趨近于無(wú)窮大時(shí)，T(n)/f(n)的極限值為不等于零的常數(shù)，則稱f(n)是T(n)的同數(shù)量級(jí)函數(shù)。記作T(n)=Ｏ(f(n)),稱Ｏ(f(n))?為算法的漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度，簡(jiǎn)稱時(shí)間復(fù)雜度。此外，T (n) = Ο(f (n))?表示存在一個(gè)常數(shù)C，使得在當(dāng)n趨于正無(wú)窮時(shí)總有?T (n) ≤ C * f(n)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是T(n)在n趨于正無(wú)窮時(shí)最大也就跟f(n)差不多大。也就是說(shuō)當(dāng)n趨于正無(wú)窮時(shí)T (n)的上界是C * f(n)。其雖然對(duì)f(n)沒(méi)有規(guī)定，但是一般都是取盡可能簡(jiǎn)單的函數(shù)。例如，O(2n²+n +1) = O (3n²+n+3) = O (7n²?+ n) =?O (?n²?)?，一般都只用O(n²)表示就可以了。注意到大O符號(hào)里隱藏著一個(gè)常數(shù)C，所以f(n)里一般不加系數(shù)。如果把T(n)當(dāng)做一棵樹(shù)，那么O(f(n))所表達(dá)的就是樹(shù)干，只關(guān)心其中的主干，其他的細(xì)枝末節(jié)全都拋棄不管。

常見(jiàn)的數(shù)量級(jí)大小：O(1)＜O(logn)＜O(n)＜O(nlogn)＜O(n2n2)＜O(n3n3)＜O(2n2n)＜O(n!)

數(shù)量級(jí)能承受的大致規(guī)模常見(jiàn)算法

O(1)	任意	直接輸出結(jié)果
O(logn)	任意	二分查找、快速冪
O(n)	以百萬(wàn)計(jì)（五六百萬(wàn)）	貪心算法、掃描和遍歷
O(nlogn)	以十萬(wàn)計(jì)（三四十萬(wàn)）	帶有分治思想的算法，如二分法
O(n2)	以千計(jì)數(shù)（兩千）	枚舉、動(dòng)態(tài)規(guī)劃
O(n3)	不到兩百	動(dòng)態(tài)規(guī)劃
O(2n)	24	搜索
O(n!)	10	產(chǎn)生全排列
O(nn)	8	暴力法破解密碼

O(1)叫常數(shù)時(shí)間；O(n)、O(n²)、O(n³)、O(n⁴)……叫做多項(xiàng)式時(shí)間；O(2ⁿ)、O(3ⁿ)……叫做指數(shù)時(shí)間。

3、算法的時(shí)間復(fù)雜度的具體步驟：

　　⑴ 找出算法中的基本語(yǔ)句；

　　算法中執(zhí)行次數(shù)最多的那條語(yǔ)句就是基本語(yǔ)句，通常是最內(nèi)層循環(huán)的循環(huán)體。

　　⑵ 計(jì)算基本語(yǔ)句的執(zhí)行次數(shù)的數(shù)量級(jí)；

　　只需計(jì)算基本語(yǔ)句執(zhí)行次數(shù)的數(shù)量級(jí)，這就意味著只要保證基本語(yǔ)句執(zhí)行次數(shù)的函數(shù)中的最高次冪正確即可，可以忽略所有低次冪和最高次冪的系數(shù)。這樣能夠簡(jiǎn)化算法分析，并且使注意力集中在最重要的一點(diǎn)上：增長(zhǎng)率。

　　⑶ 用大Ο記號(hào)表示算法的時(shí)間性能。

　　將基本語(yǔ)句執(zhí)行次數(shù)的數(shù)量級(jí)放入大Ο記號(hào)中。

　　如果算法中包含嵌套的循環(huán)，則基本語(yǔ)句通常是最內(nèi)層的循環(huán)體，如果算法中包含并列的循環(huán)，則將并列循環(huán)的時(shí)間復(fù)雜度相加。舉個(gè)例子：第一個(gè)for循環(huán)的時(shí)間復(fù)雜度為Ο(n)，第二個(gè)for循環(huán)的時(shí)間復(fù)雜度為Ο(n²)，則整個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度為Ο(n+n²)=Ο(n²)。

let x =1; let y = 1; for (let i=1; i<=n; i++) {x++; } for (let j=1; j<=m; i++){for (let k=1; k<=m; j++) {y++; } }

4、常見(jiàn)的時(shí)間復(fù)雜度進(jìn)行示例

（1）O(1)

　　let x=1;

? (2) O(n)

sum=0； （1次） for(i=1;i<=n;i++) { （n+1次） sum++； (n+1次) }

　　

　　Θ(2n+2)=n? （Θ即：去低階項(xiàng)，去掉常數(shù)項(xiàng)，去掉高階項(xiàng)的常參得到），所以

?

?

let sum=0； (1次） for(let i=1;i<=n;i++) （n+1次） for(let j=1;j<=n;j++) （(n+1)(n+1)次） sum++； （(n+1)(n+1)次）

　　

　　Θ(2n²+5n+3)=n^2?T(n)=O(n²)；

? ? 一般情況下，對(duì)步進(jìn)循環(huán)語(yǔ)句只需考慮循環(huán)體中語(yǔ)句的執(zhí)行次數(shù)，忽略該語(yǔ)句中步長(zhǎng)加1、終值判別、控制轉(zhuǎn)移等成分，當(dāng)有若干個(gè)循環(huán)語(yǔ)句時(shí)，算法的時(shí)間復(fù)雜度是由嵌套層數(shù)最多的循環(huán)語(yǔ)句中最內(nèi)層語(yǔ)句的頻度f(wàn)(n)決定的。

? （4）O(log₂n)??

　　

i = 1; while(i<=n){i = i*2; }

　　

　　

　　 i = 2, 4, 8,?16 ，32，64，128? => i = 2^x,?假設(shè)x次(時(shí)間頻度)后跳出循環(huán)，因?yàn)?i<=n ，所以2^x <= n => x = log₂n

? ? 所以 T(n) = O(?log₂n)

while(n){n = n/2; }

　　

　　128，64，32，16，8，4，2，...

? ?=> 2^x? = n => x =?log₂n

? ?（5）O(n³)?

　　　

for(i=0;i<n;i++) { for(j=0;j<i;j++) { for(k=0;k<j;k++) x=x+2; } }

　　O(n³)

?

?

?

?

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法的时间和空间复杂度的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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