題面

傳送門

題解

這種頹柿子的題我可能死活做不出來……

首先\(r=0\)……算了不說了，\(r=1\)就是個裸的自然數冪次和直接愛怎么搞怎么搞了，所以以下都假設\(r>1\)

設

\[s_p=\sum_{i=1}^n i^pr^i\]

我們要求的就是\(s_k\)

因為有

\[s_k=\sum_{i=1}^n i^kr^i\]

\[rs_k=\sum_{i=2}^{n+1}r^{i}(i-1)^k\]

兩個柿子減一減

\[(r-1)s_k=r^{n+1}n^k-r+\sum_{i=2}^nr^i\left((i-1)^k-i^k\right)\]

然后來考慮后面這個東西

\[ \begin{aligned} \sum_{i=2}^nr^i\left((i-1)^k-i^k\right) &=\sum_{i=2}^nr^i\left(\sum_{j=0}^k{k\choose j}i^j(-1)^{k-j}-i^k\right)\\ &=\sum_{i=2}^nr^i\sum_{j=0}^{k-1}{k\choose j}i^j(-1)^{k-j}\\ &=\sum_{j=0}^{k-1}{k\choose j}(-1)^{k-j}\sum_{i=2}^nr^ii^j\\ &=\sum_{j=0}^{k-1}{k\choose j}(-1)^{k-j}\left(s(j)-r\right)\\ \end{aligned} \]

那么就可以\(O(k^2)\)遞推了

//minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define ll long long #define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i) #define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v) using namespace std; const int N=2005,P=1e9+7; inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;} inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;} inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;} int ksm(R int x,R ll y){R int res=1;for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);return res; } int fac[N],ifac[N],inv[N],Pre[N],suf[N],f[N],s[N]; ll n,r;int k,m; inline int C(R int n,R int m){return 1ll*fac[n]*ifac[m]%P*ifac[n-m]%P;} void init(int n=N-1){inv[0]=inv[1]=ifac[0]=ifac[1]=fac[0]=fac[1]=1;fp(i,2,n){fac[i]=mul(fac[i-1],i),inv[i]=mul(P-P/i,inv[P%i]),ifac[i]=mul(ifac[i-1],inv[i]);} } int Lagrange(){n%=P;fp(i,1,k+2)f[i]=add(f[i-1],ksm(i,k));if(n<=k+2)return f[n];m=k+2;Pre[0]=1;fp(i,1,m)Pre[i]=mul(Pre[i-1],n-i);suf[m+1]=1;fd(i,m,1)suf[i]=mul(suf[i+1],n-i);int res=0,ty=(m-1)&1?P-1:1;fp(i,1,m)res=add(res,1ll*f[i]*ty%P*Pre[i-1]%P*suf[i+1]%P*ifac[m-i]%P*ifac[i-1]%P),ty=P-ty;return res; } int calc(){if(!r)return 0;R int p=ksm(r,n+1),q=1,invr=ksm(r-1,P-2),ty;s[0]=mul(dec(p,r),invr),n%=P;fp(i,1,k){q=mul(q,n),s[i]=dec(mul(p,q),r),ty=(i&1)?P-1:1;fp(j,0,i-1)s[i]=add(s[i],1ll*C(i,j)*ty%P*dec(s[j],r)%P),ty=P-ty;s[i]=mul(s[i],invr);}return s[k]; } int main(){ // freopen("testdata.in","r",stdin);init();int T;scanf("%lld",&T);while(T--){scanf("%lld%d%lld\n",&n,&k,&r),r%=P;printf("%d\n",r==1?Lagrange():calc());}return 0; }

轉載于:https://www.cnblogs.com/bztMinamoto/p/10535423.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[51nod]1229 序列求和 V2（数学+拉格朗日差值）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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