給定一個數A，不使用sqrt函數，求A的開方，要求精度大于0.0001

該題有兩種方法求解：①牛頓迭代法；②二分法

①牛頓迭代法：

1．牛頓迭代法知識：

牛頓迭代法（Newton's method）又稱為牛頓-拉夫遜方法（Newton-Raphson method），它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和復數域上近似求解方程的方法。多數方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函數f(x)的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(x) = 0的根。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優點是在方程f(x) = 0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復根。另外該方法廣泛用于計算機編程中。

設r是f(x) = 0的根，選取x0作為r初始近似值，過點（x0,f(x0)）做曲線y = f(x)的切線L，L的方程為y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L與x軸交點的橫坐標 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，稱x1為r的一次近似值。

過點（x1,f(x1)）做曲線y = f(x)的切線，并求該切線與x軸交點的橫坐標 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，稱x2為r的二次近似值。重復以上過程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))（公式1），稱為r的n+1次近似值，上式稱為牛頓迭代公式。

2.本題迭代公式推導

因為本題的題目是求開方，設待求開方的值為A，而開方后的值為x，則A與x的關系為A=x²，即求函數f(x)=x²-A=0的根。再根據上述的公式（1）即x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，將f(x)，f”(x)帶入公式得到x(n+1) = x(n)-(x²-A)/2x=x(n)+(A/x- x)/2。

迭代公式：X(n+1)=X(n)+(A/X(n)-X(n))/2，其中A是輸入的待求被開方的數,X(n)是一次與A的開方相近的數，X(n+1)是下一次與A的開方相近的數 。

同理可以得到開三次放的迭代公式X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3 ，A、X(n)、X(n+1)意義與開平方相同。

①輸入初始值X(0)，最簡單的是將X(0)定為1

②通過迭代公式計算與A相近的下一個開方數X(n)，直到|A-X(n)|<0.001為止。?

#include<iostream> using namespace std; double MySqrt(double A,double precision) //A為待開方的數，precision為精度 ???????? { ?????????????????? if(A<0) ??????????????????????????? throw"不能為負數！"; ?????????????????? double X=1; ?????????????????? while(abs(A-X*X)>precision) ?????????????????? { ??????????????????????????? X = X +(A/X-X)/2; ?????????????????? } ?????????????????? return X; ???????? }

int main() { ???????? double a; ???????? cout<<"輸入一個不小于0的數"; ???????? cin>>a; ???????? cout<<MySqrt(a,0.001)<<endl; ???????? return 0; } ?

②牛頓二分法

一般地，對于函數f(x),如果存在實數c,當x=c時，若f(c)=0,那么把x=c叫做函數f(x)的零點。

解方程即要求f(x)的所有零點。

假定f(x)在區間（x，y）上連續

先找到a、b屬于區間（x，y），使f(a)，f(b)異號，說明在區間(a,b)內一定有零點，然后求f[(a+b)/2],

現在假設f(a)<0,f(b)>0,a<b??

①如果f[(a+b)/2]=0，該點就是零點，

如果f[(a+b)/2]<0,則在區間（(a+b)/2，b)內有零點，(a+b)/2>a，從①開始繼續使用

中點函數值判斷。

如果f[(a+b)/2]>0，則在區間(a,(a+b)/2)內有零點，(a+b)/2<b，從①開始繼續使用

中點函數值判斷。

這樣就可以不斷接近零點。

通過每次把f(x)的零點所在小區間收縮一半的方法，使區間的兩個端點逐步迫近函數的零點，以求得零點的近似值，這種方法叫做二分法。

#include<iostream> using namespace std; double MySqrt(double A,double precision)//二分法 ???????? { ?????????????????? ?if(A<0)? throw "不能為負數！"; ?????????????????? double min =0,max = A; ?????????????????? double result = (min+max)/2; ?????????????????? while(abs(A-result*result)>precision) ?????????????????? {?????? if(A-result*result>0) ???????????????????????????????????? min =result; ??????????????????????????? else?? max = result; ??????????????????????????? result =(min+max)/2; } ?????????????????? return result; ???????? } ?

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總結

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