【轉】dijkstra算法

來自：https://blog.csdn.net/tw_345/article/details/50109375#comments 2015年11月30日 10:55:08 閱讀數：1241

說到dijkstra，它其實是我第一個公司的Wi-Fi密碼，當時我還不知道它就是求最短路徑的一個算法。今天有幸能領略這位荷蘭科學家的智慧～

Dijkstra算法是求某個源點到其他各頂點的最短路徑的。

書本上的公式有點復雜，不如先看個例子再去理解公式～

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比如上圖這道題（ppt畫的，湊合看吧～）

運用dijkstra，求V0到各點的最短路徑？

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解答具體過程：

令S表示已求出最短路徑的頂點集合。D［i］表示V0到Vi的路徑長度。arcs[i][j]表示從i到j的直接距離

第一步：V0到其他頂點的直接路徑：

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S	D[1]	D[2]	D[3]	D[4]	D[5]
{V0}	50	10	∞	45	∞

下一步：計算min{D[i]}，得到D[2]最小，便將V2加入S中，得到V0V2最短路徑10，重新計算V0到各點路徑：

D[1](new) = min{D[1](old) ,D[2]+arcs[2][1]} ＝ min{50,10+∞}=50

D[3](new) = min{D[3](old) ,D[2]+arcs[2][3]} ＝ min{∞,10+15}=25

D[4](new) = min{D[4](old) ,D[2]+arcs[2][4]} ＝ min{45,10+∞}=45

D[5](new) = min{D[5](old) ,D[2]+arcs[2][5]} ＝ min{∞,10+∞}=∞

得到

S	D[1]	D[2]	D[3]	D[4]	D[5]
{V0，V2}	50		25	45	∞

下一步：（也不能說下一步，反正就是循環）計算min{D[i]}，D[3]最小，V3加入S中，得到V0V3最短路徑25，重新計算路徑：

D[1](new) = min{D[1](old) ,D[3]+arcs[3][1]} ＝ min{50,25+20}=45

D[4](new) = min{D[4](old) ,D[3]+arcs[3][4]} ＝ min{45,25+20}=45

D[5](new) = min{D[5](old) ,D[3]+arcs[3][5]} ＝ min{∞,25+∞}=∞

得到

S	D[1]	D[2]	D[3]	D[4]	D[5]
{V0，V2，V3}	45			45	∞

怎么樣？是不是很帶感

下一步：計算min{D[i]}，D[1]（看1比較順眼）最小，V1加入S中，得到V0V1最短路徑45，重新計算路徑：

D[4](new) = min{D[4](old) ,D[1]+arcs[1][4]} ＝ min{45,45+10}=55

D[5](new) = min{D[5](old) ,D[1]+arcs[1][5]} ＝ min{∞,45+∞}=∞

得到

S	D[1]	D[2]	D[3]	D[4]	D[5]
{V0,V2,V3,V1}				45	∞

下一步：計算min{D[i]}，D[4]最小，V4加入S中，得到V0V4最短路徑45，重新計算路徑：

D[5](new) = min{D[5](old) ,D[4]+arcs[4][5]} ＝ min{∞,45+∞}=∞

得到

S	D[1]	D[2]	D[3]	D[4]	D[5]
{V0,V2,V3,V1,V4}					∞

得到V0V5最短路徑∞，

所以最短路徑為

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V0V1	45
V0V2	10
V0V3	25
V0V4	45
V0V5	∞

Dijkstra算法的基本思想是：按最短路徑長度遞增的順序，逐個產生各最短路徑。

那么如何遞增呢？其實是運用一條性質：如果存在一條從i到j的最短路徑(Vi.....Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一頂點。那么(Vi...Vk)也必定是從i到k的最短路徑。

然而這條性質是如何得到呢，這就需要我們先弄清楚最短路徑的“最優子結構性質”。

最優子結構性質：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是從頂點i到j的最短路徑，k和s是這條路徑上的一個中間頂點，那么P(k,s)必定是從k到s的最短路徑。下面用反證法證明：

假設P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是從頂點i到j的最短路徑，則有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是從k到s的最短距離，那么

必定存在另一條從k到s的最短路徑P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。則與P(i,j)是從i到j的最短路徑相矛盾。因此該性質得證。

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好了，鋪墊的差不多了，Dijkstra就提出了以最短路徑長度遞增，逐次生成最短路徑的算法。譬如對于源頂點V0，首先選擇其直接相鄰的頂點中長度最短的頂點Vi（注意相鄰和最短），那么當前已知可得從V0到達Vj頂點的最短距離dist[j]=min{dist[j],dist[i]+arcs[i][j]}。

根據這種思路，假設存在G=<V,E>，源頂點為V0，S={V0}, dist[i]記錄V0到Vi的最短距離，path[i]記錄從V0到Vi路徑上的Vi前面的一個頂點。

1.從不在S的V中選擇使dist[i]值最小的頂點i，將i加入到S中；

2.更新與i直接相鄰頂點的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]})；（上例是全部更新，不直接相鄰就用“∞”表示）

3.直到S=V。

代碼實現:（代碼來源于網絡）

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#include <iostream>

#include<stack>

#define M 100

#define N 100

using namespace std;

typedef struct node

{

int matrix[N][M]; //鄰接矩陣

int n; //頂點數

int e; //邊數

}MGraph;

void DijkstraPath(MGraph g,int *dist,int *path,int v0) //v0表示源頂點

{

int i,j,k;

bool *visited=(bool *)malloc(sizeof(bool)*g.n);

for(i=0;i<g.n;i++) //初始化

{

if(g.matrix[v0][i]>0&&i!=v0)

{

dist[i]=g.matrix[v0][i];

path[i]=v0; //path記錄最短路徑上從v0到i的前一個頂點

}

else

{

dist[i]=INT_MAX; //若i不與v0直接相鄰，則權值置為無窮大

path[i]=-1;

}

visited[i]=false;

path[v0]=v0;

dist[v0]=0;

}

visited[v0]=true;

for(i=1;i<g.n;i++) //循環擴展n-1次

{

int min=INT_MAX;

int u;

for(j=0;j<g.n;j++) //尋找未被擴展的權值最小的頂點

{

if(visited[j]==false&&dist[j]<min)

{

min=dist[j];

u=j;

}

}

visited[u]=true;

for(k=0;k<g.n;k++) //更新dist數組的值和路徑的值

{

if(visited[k]==false&&g.matrix[u][k]>0&&min+g.matrix[u][k]<dist[k])

{

dist[k]=min+g.matrix[u][k];

path[k]=u;

}

}

}

}

void showPath(int *path,int v,int v0) //打印最短路徑上的各個頂點

{

stack<int> s;

int u=v;

while(v!=v0)

{

s.push(v);

v=path[v];

}

s.push(v);

while(!s.empty())

{

cout<<s.top()<<" ";

s.pop();

}

}

int main(int argc, char *argv[])

{

int n,e; //表示輸入的頂點數和邊數

while(cin>>n>>e&&e!=0)

{

int i,j;

int s,t,w; //表示存在一條邊s->t,權值為w

MGraph g;

int v0;

int *dist=(int *)malloc(sizeof(int)*n);

int *path=(int *)malloc(sizeof(int)*n);

for(i=0;i<N;i++)

for(j=0;j<M;j++)

g.matrix[i][j]=0;

g.n=n;

g.e=e;

for(i=0;i<e;i++)

{

cin>>s>>t>>w;

g.matrix[s][t]=w;

}

cin>>v0; //輸入源頂點

DijkstraPath(g,dist,path,v0);

for(i=0;i<n;i++)

{

if(i!=v0)

{

showPath(path,i,v0);

cout<<dist[i]<<endl;

}

}

}

return 0;

}

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posted on 2018-07-26 15:37 時空觀察者9號 閱讀(...) 評論(...) 編輯 收藏

總結

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