$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+64x=0$$
$$x(0)=\frac{2}{3}$$
$$x^{\prime }(0)=?\frac{4}{3}$$
$$x(t)=\frac{2}{3}cos8t?\frac{1}{6}sin8t=sin?cos\delta t+cos?sin\delta t$$
$$=\sqrt{(\frac{2}{3}{)}^2+(?\frac{1}{6}{)}^2}sin(\delta t+?)$$
$$tan?=\frac{\frac{2}{3}}{?\frac{1}{6}}$$
$$?=\arctan (?4)+\pi =1.816rad$$
$$\tau$$
$$\frac{d^{2}x}{}$$

critical damp motion,

$${\lambda }^2?{\omega }^2=0$$
$${\beta }^2=4\omega k$$

$$x(t)=c_1{e}^{?\lambda t}+c_{2}t{e}^{?\lambda t}$$
$${\lambda }^2?{\omega }^2<0$$
$$x(t)=e^{?\lambda t}(c_{1}cos$$

undamped motion
這幾個區分一下哈

• undamped motion 就是這個系統沒有阻力，就是一個正弦波，快樂的搖擺
• overdamped motion 就是這個系統阻力賊大，就是這個東西一把就完事了，回不了平衡點了
• critical damped mption 就是能回到平衡點，但是只能一次，就是一個臨界點，再小一點就能震起來了
• underdamped motion 就是這個系統的阻力非常小，這個東西緩慢的下降

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{\beta }{m}\frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}x=0$$
$$\beta =2$$
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ft at position 7: k=4 lb\?f?t?
$$m=\frac{8lb}{32ft/{\omega }^2}$$
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+8\frac{dx}{dt}+16x=0$$
$$x(0)=0$$
$$x^{\prime }(0)=?3$$
$$x(t)=?3t{e}^{?4t}$$
$$x^{\prime }(t)=0\to ?3e^{?4t}(1?4t)=0$$
$$t=\frac{1}{4}$$

$$x(\frac{1}{4})=?0.276ft$$
above the equilibrium
$$\frac{d^{2}x}{dt}+\frac{\beta }{m}\frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}x=0$$
$$\beta =1$$
$$m=\frac{16lb}{32ft/s^2}=\frac{1}{2}\frac{lb{s}^2}{ft}$$
$$k=16lb/3.2ft=5lb/ft$$
$$\frac{d^2(x)}{d{t}^2}+2\frac{dx}{dt}+10x=0$$
$$x(0)=?2$$
$$x^{\prime }(0)=0$$
$$x(t)=e^{?t}(?2cos3t?\frac{2}{3}sin3t)$$
$$e^{?t}[\sqrt{(?2)}]$$
$$\frac{1}{5}$$

$$x(t)=e^{?3t}(\frac{38}{51}cost?\frac{86}{51}sint)?(\frac{25}{102}cos4t+\frac{50}{51})$$

with damping
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=F_{0}sin\gamma t,x(0)=0,x^{\prime }(0)=0$$
$$x(t)=\frac{F_0}{\omega ({\omega }_0^2?{\gamma }^2)}(?\gamma sin\omega t+\omega sin\gamma t),\gamma =\omega$$
$$x(t)=\frac{F_0}{2\omega^2}sin\omega t - $$

共振，就是兩個函數的波峰在同樣的時候出現，這樣他們的就越來越強，越來越強

$$\omega$$
$$\beta$$
resonance

resonance

axis of symmetry

deflection curve

beam

$$\frac{d^{2}M}{d{x}^2}=w(x)\to load負載$$
$$M:boundary$$

彎矩

抗彎剛度

$$M=EIK$$
$$K\approx y^{\prime \prime }$$

deflection

constant load
$$w_0$$

$$EI\frac{d^{4}y}{d{x}^4}=w_0$$
$$y(0)=0$$
$$y(l)=0$$
$$y^{\prime }(0)=0$$
$$y^{\prime }(l)=0$$
$$y(x)=$$

eigenvalue

eigenfunction

$$y^{\prime \prime }+\lambda y=0$$
$$y(0)=0$$
$$y(L)=0$$
$$L=0$$

sol
$$\lambda =0$$

$$y^{\prime \prime }=0$$
$$y=c_{1}x+c_2$$
$$y(0)=0\to c_2=0$$
$$y(l)=0\to c_{1}L=0\to c_1=0$$
case ii
$$\lambda <0$$
$$\lambda =?$$

$$\lambda >0$$
$$\lambda ={\alpha }^2,\alpha >0$$
$$y^{\prime \prime }+{\alpha }^{2}y=0\to y=c_{1}cos(\alpha x)$$

euler load
$$L$$
$$P$$

$$EI\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+py=0$$
$$y(0)=0$$
$$y(L)=0$$
$$\lambda =\frac{P}{EI}$$
$$y^{\prime \prime }+\lambda y=0$$
$$y(0)=0$$
$$y(l)=0$$
$$p_n=\frac{n^2{\pi }^{2}EI}{L^2},n=1,2,3,...$$
$$p_1={\pi }^{2}EI/L^2$$
$$y$$
$$L$$

$$y(x)$$
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總結

以上是生活随笔為你收集整理的杨老师的新课！数学应用的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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