?? Trilogy公司的筆試題:

如果n為偶數，則將它除以2，如果n為奇數，則將它加1或者減1。問對于一個給定的n，怎樣才能用最少的步驟將它變到1。
??? 例如：n=11： ①　++n -> 12　② n/2 -> 6 ③ n/2 -> 3?? ④ --n -> 2? ⑤ n/2 -> 1? 共需5步。

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最簡單的方法就是用DP。設f(n)為所用的最少步驟。根據定義可得：

若n為偶數， f(n)=f(n/2) + 1;

若n為奇數， f(n)= min(f(n-1), f(n+1)) +1

???????????????? ??????= min(f((n-1)/2), f((n+1)/2)) +2

或者：

?f(2*k)=f(k)+1?

f(2*k+1)=min(f(k),f(k+1))+2

?

利用上述遞推公式，可以直接從數字1開始算到n，用一個數組保存前 n/2+1個數所用的最少步驟，但這時間和空間復雜度均為O(n)，其實利用上面的遞推公式，可以實現時間復雜度為0(lg n)。觀察上面的遞推公式，可以發現，要計算n，只要計算n/2和n/2+1，如要計算59，只要計算：

59 -> 29,30 -> 14,15 -> 7,8 -> 3,4 -> 1,2。

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代碼如下：

int?num2one_dp(unsigned?n)
{
??unsigned?tmp=n,?flag=1,?ret=0,?next=1;
??while?(tmp>>=1)?flag<<=1;
??while?(flag>>=1)?{
????if?(n?&?flag)?{
??????if?(ret?>?next)?ret?=?next;
??????ret?+=?2;
??????++next;
????}?else?{
??????if?(next?>?ret)?next?=?ret;
??????next?+=?2;
??????++ret;
????}
??}
??return?ret;
}

上面的O(lg n)解法，對n先處理高位的0和1，下面的O(lg n)解法則恰恰相反，先處理n的低位的0和1。

將n（n>1）轉為二進制數表示

（下面的“加1”、“減1”操作均特指對奇數采取的操作，操作次數包括對偶數的操作次數。）

⑴ 如果n僅由m個連續的1組成（即n=2^m-1， m>=2），

① “加1”操作：?需要 m+1 次操作

② “減1”操作：?需要 2*(m-1) 次操作

?????? 顯然，僅當m=2（即n=3）時，“減1”所用的操作次數才比“加1”少。

⑵ 如果n可以表示為：x10_m1_k （m>=1, k>=1）

（x可以為空串或任意01序列，0_m表示連續m個0，1_k表示連續k個1)

??① “加1”操作：?k+1 次操作后得到x10_m-11如果，接著用“減1”操作（注意，這不這一定最優解法），總共k+3次操作可得x10_m-1。

??②“減1”操作：?2*k+1次操作后得到x10_m-1

??顯然，僅當k=1時，“減1”所用的操作次數才可能比“加1”少。

?? 可以證明，對x10_m1，“減1”所用的操作次數一定不會比“加1”的多。

?? （當k=1時，對x10_m1，假設先進行一次“加1”操作最終所用的步驟數較少。“加1”操作后，在將x10_m1轉為x11前，若用到“減1”操作，則可以直接對x10_m1進行 “減1”操作，所有步驟更少，因而后面都是采用“加1”操作。

??? ?對x10_m1（可表示為y01_t0_m1，y允許是空串），

　“加1”操作?? 2*m+t+2 次后得到 ?y1

“減1”操作??????m+2 次后得到?y01_t

（再用“加1操作”，m+t+3后也可得到y1）

由于對m>=1，恒有m+t+3 <= 2*m+t+2，因而對x10_m1

“減1”操作能保證得到最優解。）

⑶ 總之，僅當n=3或n二進制表示的最低2位是01時，才用“減1”操作

代碼：

int?num2one(unsigned?n)
{
??if?(n==0)?return?-1;
??int?count=0;
??while?(1)?{
????while?((n&1)==0)?{?n?>>=?1u;?++count;?}
????if?(n<=3)?{
??????//?n只能為1或3，n為3時，還要進行兩步操作
??????count?+=?n?-?1;
??????break;
????}
????if?((n&3)==1)??--n;
????else?++n;
????++count;
??}
??return?count;
}

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轉載于:https://www.cnblogs.com/flyinghearts/archive/2011/01/01/1923590.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Trilogy公司的笔试题:根据指定规则用最少的步骤将数转为1的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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