題目

有 N 塊石頭河兩個玩家 A 和 B. A 先將石頭分成若干堆, 然后按照 BABABA... 的順序輪流取石塊, 能將剩下的石頭依次取光的玩家獲勝. 每次取石頭時, 每個玩家只能取一堆的 m(m>=1) 個石頭

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思路

1. 依然舉例子.

當 N = 1 時, 輸. N = 2 時, 可以分成 1, 1. 贏

當 N = 3 時, 分成 1, 2. 輸

當 N = 4 時, 分成 2, 2, 贏

當 N = 5 時, (1,1,3) (1,2,2) (2,3) 都是輸

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總結

1. 穩贏叫做安全局面. 能一步跳到安全局面的叫做不安全局面. 不安全局面都是穩輸的

2. 安全局面不能直接跳到安全局面, 即安全局面的任何走動都會跳到不安全局面

3. 不安全局面總可以一步跳到安全局面

因此當 N 為偶數時, 總是安全局面. 總是可以走到 (i,i) 的局面, 而 (1,1) 又是安全局面

當有奇數個時, 擺放成全1的形式, 總是先拿的贏

4. 使用亦或運算

當 M 為偶數時, 我們的取勝策略是把 M 分成相同的兩份, 這樣就能取勝

開始 (M1, M1) XOR(M1,M1) = 0

中途 (M1, M2) XOR(M1,M2) != 0

我方 (....) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= 0

最終 我方勝

當 M 為奇數時, 擺放成全 1 的形式, 先拿著必贏

當 M 為奇數時,?

開始 (M1, M2...Mn) XOR(...) != 0 比如不為 0 , 因為至少有 1 位為1

而當 XOR != 0 時, 總是可以將其一步變成 0

而 XOR == 0 時, 任意的挪動都會將其變成非 0

所以, 當 M 為奇數時, 先拿著必贏

總結

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