原文:經典算法題每日演練——第十題 樹狀數組

?? ? ? ?有一種數據結構是神奇的，神秘的，它展現了位運算與數組結合的神奇魅力，太牛逼的，它就是樹狀數組，這種數據結構不是神人是發現不了的。

一：概序

? ? ?假如我現在有個需求，就是要頻繁的求數組的前n項和，并且存在著數組中某些數字的頻繁修改，那么我們該如何實現這樣的需求？當然大家可以往

真實項目上靠一靠。

① 傳統方法：根據索引修改為O(1)，但是求前n項和為O(n)。

②空間換時間方法：我開一個數組sum[]，sum[i]=a[1]+....+a[i]，那么有點意思，求n項和為O(1)，但是修改卻成了O(N)，這是因為我的Sum[i]中牽

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?涉的數據太多了，那么問題來了，我能不能在相應的sum[i]中只保存某些a[i]的值呢？好吧，下面我們看張圖。

從圖中我們可以看到S[]的分布變成了一顆樹，有意思吧，下面我們看看S[i]中到底存放著哪些a[i]的值。

S[1]=a[1];

S[2]=a[1]+a[2];

S[3]=a[3];

S[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];

S[5]=a[5];

S[6]=a[5]+a[6];

S[7]=a[7];

S[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8];

之所以采用這樣的分布方式，是因為我們使用的是這樣的一個公式：S[i]=a[i-2^k+1]+....+a[i]。

其中：2^k?中的k表示當前S[i]在樹中的層數，它的值就是i的二進制中末尾連續0的個數，2^k也就是表示S[i]中包含了哪些a[]，

舉個例子: ?i=6₁₀=0110_2?；可以發現末尾連續的0有一個，即k=1，則說明S[6]是在樹中的第二層，并且S[6]中有2¹項，隨后我們求出了起始項：

? ? ? ? ? ? a[6-2¹+1]=a[5]，但是在編碼中求出k的值還是有點麻煩的，所以我們采用更靈巧的Lowbit技術，即：2^k=i&-i 。

? ? ? ? ? ?則：S[6]=a[6-2¹+1]=a[6-(6&-6)+1]=a[5]+a[6]。

二：代碼

1:神奇的Lowbit函數

1 #region 當前的sum數列的起始下標2 /// <summary>3 /// 當前的sum數列的起始下標4 /// </summary>5 /// <param name="i"></param>6 /// <returns></returns>7 public static int Lowbit(int i)8 {9 return i & -i; 10 } 11 #endregion

?

2:求前n項和

? ? ?比如上圖中，如何求Sum(6)，很顯然Sum(6)=S₄+S_6，那么如何尋找S4呢？即找到6以前的所有最大子樹，很顯然這個求和的復雜度為logN。

1 #region 求前n項和2 /// <summary>3 /// 求前n項和4 /// </summary>5 /// <param name="x"></param>6 /// <returns></returns>7 public static int Sum(int x)8 {9 int ans = 0; 10 11 var i = x; 12 13 while (i > 0) 14 { 15 ans += sumArray[i - 1]; 16 17 //當前項的最大子樹 18 i -= Lowbit(i); 19 } 20 21 return ans; 22 } 23 #endregion

3：修改

如上圖中，如果我修改了a[5]的值，那么包含a[5]的S[5]，S[6]，S[8]的區間值都需要同步修改,我們看到只要沿著S[5]一直回溯到根即可，

同樣它的時間復雜度也為logN。

1 public static void Modify(int x, int newValue)2 {3 //拿出原數組的值4 var oldValue = arr[x];5 6 for (int i = x; i < arr.Length; i += Lowbit(i + 1))7 {8 //減去老值，換一個新值9 sumArray[i] = sumArray[i] - oldValue + newValue; 10 } 11 }

最后上總的代碼:

View Code 1 using System;2 using System.Collections.Generic;3 using System.Linq;4 using System.Text;5 using System.Diagnostics;6 using System.Threading;7 using System.IO;8 9 namespace ConsoleApplication210 {11 public class Program12 {13 static int[] sumArray = new int[8];14 15 static int[] arr = new int[8];16 17 public static void Main()18 {19 Init();20 21 Console.WriteLine("A數組的值:{0}", string.Join(",", arr));22 Console.WriteLine("S數組的值:{0}", string.Join(",", sumArray));23 24 Console.WriteLine("修改A[1]的值為3");25 Modify(1, 3);26 27 Console.WriteLine("A數組的值:{0}", string.Join(",", arr));28 Console.WriteLine("S數組的值:{0}", string.Join(",", sumArray));29 30 Console.Read();31 }32 33 #region 初始化兩個數組34 /// <summary>35 /// 初始化兩個數組36 /// </summary>37 public static void Init()38 {39 for (int i = 1; i <= 8; i++)40 {41 arr[i - 1] = i;42 43 //設置其實坐標：i=1開始44 int start = (i - Lowbit(i));45 46 var sum = 0;47 48 while (start < i)49 {50 sum += arr[start];51 52 start++;53 }54 55 sumArray[i - 1] = sum;56 }57 }58 #endregion59 60 public static void Modify(int x, int newValue)61 {62 //拿出原數組的值63 var oldValue = arr[x];64 65 arr[x] = newValue;66 67 for (int i = x; i < arr.Length; i += Lowbit(i + 1))68 {69 //減去老值，換一個新值70 sumArray[i] = sumArray[i] - oldValue + newValue;71 }72 }73 74 #region 求前n項和75 /// <summary>76 /// 求前n項和77 /// </summary>78 /// <param name="x"></param>79 /// <returns></returns>80 public static int Sum(int x)81 {82 int ans = 0;83 84 var i = x;85 86 while (i > 0)87 {88 ans += sumArray[i - 1];89 90 //當前項的最大子樹91 i -= Lowbit(i);92 }93 94 return ans;95 }96 #endregion97 98 #region 當前的sum數列的起始下標99 /// <summary> 100 /// 當前的sum數列的起始下標 101 /// </summary> 102 /// <param name="i"></param> 103 /// <returns></returns> 104 public static int Lowbit(int i) 105 { 106 return i & -i; 107 } 108 #endregion 109 } 110 }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的经典算法题每日演练——第十题 树状数组的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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