DP之矩阵连乘问题
最優二叉查找樹的一道思考習題
同最優二叉查找樹一樣，矩陣連乘問題也是一個卡特蘭數問題（其動態規劃的構造過程都很像）
分析解答：
a，鋪墊的數學知識首先要搞清楚矩陣相乘是怎么乘的：
1）對于連續的n個矩陣相乘 A1 * A2 *A3.........An，其乘法順序可以是任意的，可以在上面加括號，改變做乘法的順序，例如 A*B*C三個矩陣相乘可以A*(B*C)
也可以直接按從左到右的順序。連續的兩個矩陣的位數必須滿足m*p，p*n才能相乘，且相乘后的結果是個m*n的矩陣。（線性代數的知識）
2）對于2個m*p，p*n的矩陣相乘，共做乘法次數為 m*n*p 次。這是預備知識，知道矩陣連續的乘法的運算次數跟運算順序有關后，就很容易舉出例子了，略。
b，卡特蘭數個，證明很麻煩，有時間看了組合數學再來看
c，重點是要解決這個問題。
設M[i , j]表示從第 i 個矩陣到第 j 個矩陣連乘的最少乘法次數，（i 從 0 編號），我們最終的目標是求 M[0 , n-1]。
Ai *.......Ak * Ak+1.....Aj
假設要得到這個式子的值（即從矩陣 i 連乘到矩陣 j），所作的最后一個矩陣乘法是在矩陣 k 后(注意準確的描述位置)斷開的（即左右都已乘運算好），那么容易得到
其遞推式：
M[i , j]? =? min{ M[i , k] + M[k+1 , j]? + p[i - 1] * p[ k ] * p[ j ] }???????? i ? <=?? k?? <=?? j-1
其中 di 是矩陣 Ai 的第一維，dk+1是斷開處矩陣 Ak 的第二維（即Ak+1的第一維，是一樣的），dj+1是最后一個矩陣 Aj 的第二維。
得到這個式子也是一個逆向思維的過程。
可以用矩陣連乘的動態規劃構造過程與最優二叉查找樹比較下，發現其構造非常相似（在前面一篇dp之什么叫做professional中提到過，不再詳述）
實現：
初始條件：M[i , i] = 0
填表順序：鑒于其遞推式與最優二叉查找樹相似，填表順序也是按對角線的，自己畫畫就知道了。
代碼也跟最優二叉查找樹的控制邏輯相似：
?
package Section8;
/*第八章 動態規劃?? 課后習題：矩陣連乘*/
public class MatEven {
??? /**
???? * @param args
???? */
??? public static void main(String[] args) {
??????? // TODO Auto-generated method stub
??????? int[] Dim = {30,35,35,15,15,5,5,10,10,20,20,25};
??????? int result = MatEven(Dim);
??????? System.out.println("\n動態規劃求的的最優策略相乘順序導致的最少乘法數為：" + result);
??? }
???
??? public static int MatEven(int[] Dim){
??????? //接受n個矩陣的維度數組Dim大小為2n
??????? int n = Dim.length / 2;??????? //有n個矩陣，編號0...n-1,編號為k的矩陣的維數是Dim[2k] * Dim[2k+1]
???????
??????? int[][] Result = new int[n][n];??????? //最小代價矩陣
???????
??????? //初始化
??????? for(int i = 0;i < n;i++)
??????????? Result[i][i] = 0;
???????
??????? //沿對角線填矩陣
??????? for(int d = 1;d <= n-1;d++)????? //共n-1條對角線需要填
??????? {
??????????? for(int i = 0;i <= n-d-1;i++)??? //第d條對角線的第一個點橫坐標為d
??????????? {
??????????????? //int j = i - d;
??????????????? int j = i + d;??????? //在第d條對角線上的點，橫縱坐標的關系是j = i + d
???????????????
??????????????? //這樣就確定了一個位置（i,j）的坐標，然后來填（i,j）
??????????????? int Min = 1000000000;
??????????????? for(int k = i;k <= j-1;k++)??????? //從第k個矩陣后面斷開
??????????????? {
??????????????????? //動態規劃狀態轉移方程
??????????????????? int temp = Result[i][k] + Result[k+1][j] + (Dim[2*i] * Dim[2*k + 1] * Dim[2*j+1]);
??????????????????? if( temp < Min)
??????????????????????? Min = temp;
??????????????? }
???????????????
??????????????? Result[i][j] = Min;
??????????? }
???????????
???? ???}
???????
??????? return Result[0][n-1];
??? }
}
?
上面用一個數組接受一個連乘的矩陣的維數，
例如連乘的矩陣維數是：30*35 35*15 15*5 5*10 10*20 20*25
用動態規劃求解得到的最佳乘法次數是：
動態規劃求的的最優策略相乘順序導致的最少乘法數為：15125
直接返回矩陣的話就可以得到整個M[i , j]的值
如果按照從左到右的順序做乘法，是遠遠不止這個次數的。
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當然，再做一些處理，就還可以得到具體的次序，類似于最優二叉查找樹，就是要記錄動態規劃產生的過程，略
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總結：
矩陣連乘問題是個卡特蘭數問題
其動態規劃的構造過程非常類似于最優二叉查找樹
矩陣連乘的最有子結構是什么？
總結
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