標簽：b站MIT算法導論課程的一些筆記，整理以(bu)后(hui)看

代碼引用標記：

歸并排序的C語言實現

第三節 分治法

分治法（Divide and conquer）

1) 分治法的步驟

• 把問題分為幾個小的子問題（分）
• 解決每個子問題（治）
• 把幾個子問題的解合起來（合）

2) 分治法的一些說明

• 接下來的課程陸續會講到3-4種算法的設計方法
• 分治法是比較簡單的一種算法設計方法

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幾種算法（分治法的應用）

1) 歸并排序

a) 按照分治法給出步驟

• 將大的要排序的序列分為兩部分
• 分別對兩部分進行排序
• 然后把兩部分排序的結果合并在一起

b) 時間復雜度

根據主方法，

c) 偽代碼

Merge(A, p, q, r)
n1 = p - p + r
n2 = r - p
let L[1..n1+1] and R[1..n2+1] be new arrays
for i = 1 to n1
L[i] = A[p + i - 1]
for j = 1 to n2
R[j] = A[q + j]
L[n1 + 1] =
R[n2 + 1] =
i = 1
j = 1
for k = p to r
if L[i] R[j]
A[k] = L[i]
i = i + 1
else
A[k] = R[j]
j = j + 1
MERGE-SORT(A, p, r)
if p < r
q *= (p + r) / 2 //**表示向下取整
MERGE-SORT(A, p, q)
MERGE-SORT(A, q+1, r)
MERGE(A, p, q, r)

d) 算法的C語言實現

#include

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2) 二分查找（在一個已經排好序的序列里面找到x）

a) 步驟

• Divide：把x與中間的值比較
• conquer: 在一個子序列里迭代
• combine: 啥也沒做

b) 時間復雜度

根據主方法：

c) 算法的C語言實現

#include

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3) n次冪運算

a) 樸素算法

• 步驟：乘完一個再乘一個，直到乘到第n個
• 時間復雜度：

b) 簡化算法（平方遞歸）

i) 步驟

• 將n個相乘的x分為兩部分來求
• 分別對兩部分進行遞歸求積
• 合起來

ii) 時間復雜度

• 根據主方法，

iii) 算法的C語言實現

#include

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4) Fibonacci數列

a) 定義

b) 樸素算法

i) 步驟

• 直接遞歸

ii) 時間復雜度

• 指數級別，具體值為 為黃金比例
• 為什么是這個值？可以通過估算得到它是指數級別的，但具體值不知道怎么求
• 那么怎么估算得到它是指數級的呢

畫一個遞歸樹我們會發現，各個支路的遞歸速度是不一樣的，我們算最快的那個支路，可以得到 ， 。但其他的支路肯定還需要繼續遞歸，所以說這個算法的時間復雜度是指數級別的是沒有問題的

iii) 算法的C語言實現

#include

c) 改進算法1

• 定義：自下而上遞歸式
• 步驟：從n = 0, 1開始向上正著算
• 時間復雜度：
• 算法的C語言實現

#include

d) 改進算法2

• 定義：樸素平方遞歸
• 步驟： 最接近的整數，然后再利用冪運算里面的平方遞歸方法即可
• 注：這種方法在現實中是不可能被實現的，因為計算機會舍去很多關鍵的位次

e) 改進算法3（最神奇的一種）

• 定義：矩陣法
• 步驟（見下圖）

圖片引自https://blog.csdn.net/u013068502/article/details/38338609?utm_source=blogxgwz3

• 時間復雜度：應用平方遞歸，可以得到
• 算法的C語言實現

#include

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5) n階矩陣相乘

a) 樸素算法

• 就是按照矩陣相乘的定義。沒啥好說的
• 時間復雜度：
• 算法的C語言實現

b) strassen算法（羨（ji）慕（du）天才的腦子）

• 基本思想：減少乘法的次數
• 使矩陣分塊（分成均勻的四塊），然后

; ; ;

; ;

a, b, c, d, e, f, g, h, r, s, t, u代表的值見下圖

• 時間復雜度：
• 現在可以做到最好的時間復雜度為
• 問題：如果矩陣分不成均勻的四塊是不是就不能使用這種方法了

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6) VLSI layout（超大規模集成電路）

a) 問題描述：把有n個葉節點的完全二叉樹畫到網格里使得占用的網格面積最小

b) 樸素算法

• 方式：

• 時間復雜度分析

高度：

寬度：

所以

c) 優化算法

• 時間復雜度分析

所以，

總結

以上是生活随笔為你收集整理的c语言大数相乘的算法_MIT 算法导论（三）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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