背包模型

• 前言
• • 背包問題的初始化問題
• 01背包
• • 裝箱問題
  • 寵物小精靈之收服
  • 數(shù)字組合
  • 開心的金明
  • 01背包+貪心
• 背包問題求解方案數(shù)
• • 貨幣系統(tǒng)
• 貨幣系統(tǒng)Ⅱ
• 多重背包問題
• • 慶功會
• 混合背包問題
• 二維費用的背包問題
• • 二維費用的背包問題
• 潛水員
• 分組背包問題
• • 分組背包
  • 機器分配（每一組只取一個）
  • 金明的預算方案（每一組里能取多個）
• 背包求解最優(yōu)方案數(shù)
• 背包求解具體方案

前言

對于原始背包問題及其優(yōu)化可以參見這篇博客
背包問題

背包問題的初始化問題

一般問題有以下三種情況

對應的初始化方法

對于體積最多是j，$f[0][j]$表示一個物品都不選體積最多是j的情況，這個是存在的，所以置為0 ，對于循環(huán)中我們是最多是j，如果 v < 0 ,說明 v1 > j ，這是不存在的。

對于體積恰好是j，$f[0][j]$表示一個物品都不選體積最多是j的情況，只有$f[0][0]$是存在的，其余的都是這個是不存在的，因此設置為一個不合法的數(shù)，至于是正無窮還是負無窮，取決于題目是求最大還是最小；對于循環(huán)邊界理由和上面一樣

對于初始化條件與第2個一樣 ；對于循環(huán)條件，我們·是至少是j因此當v<0的時候是存在的，而它們的值是 v = 0 時候的值。

01背包

裝箱問題

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個人解題思路：

這題是讓我們盡可能的讓背包的剩余空間小，也就是放入的物品的體積要盡可能的大，因為物品只給了體積沒有價值，那么我們就可能將每一個物品的價值等同于它的體積，那么這就轉變?yōu)榱?1背包問題。那么這個$dp[i]$表示總體積不超過背包容量下的最大體積，也就說剩余體積最小。

代碼：

#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; const int N = 35 , M = 20010; int n , m ; int w[N] , v[N] ,f[M];int main(){cin>>m>>n;for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)cin>>w[i] ;for(int i = 1; i <= n ; ++i)for(int j = m ; j >= w[i] ; --j)f[j] = max(f[j] , f[j-w[i]] + w[i]);cout<<m - f[m]<<endl;return 0; }

寵物小精靈之收服

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解題思路：

這題由單一花費變成了二維花費，我們的花費有精靈球的數(shù)量和體力，因此我們定義的是二維dp；$dp[i][j][k]$表示考慮前i個精靈，精靈球數(shù)量不超過j，體力不超過k的最大的精靈球數(shù)量。由背包問題我們可以將第一維的空間省略掉，采用逆序的遍歷方式。對于二維我們還是有

對于剩余的體力，我們在$f[N][1?M]$中選出等于$f[N][M]$的最小的體力，這是花費的最小體力。同時因為體力不能會0，我們再減1.

代碼：

#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; const int N = 110 , M = 1010; int n , m , K; int w[N] , v[N] ,f[M][M] ;int main(){cin>>m>>K>>n;for(int i = 1; i <= n ; ++i)cin>>w[i]>>v[i];for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)for(int j = m ; j >= w[i]; --j)for(int k = K ; k > v[i] ; --k )f[j][k] = max(f[j][k] ,f[j-w[i]][k-v[i]] + 1);cout<<f[m][K]<<' ';int cnt = 0;for(int k = 1 ; k <= K ; ++k)if(f[m][k] == f[m][K]){cnt = k - 1;break;}cout<<K - cnt <<endl;return 0; }

數(shù)字組合

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解題思路;

這是一個典型的0/1背包模型，N個正整數(shù)就是N個物品，M就是背包的容積。在外層循環(huán)到i時(表示從前i個數(shù)中選)，設F[j]表示“和為j”有多少種方案。在具體實現(xiàn)中，只需要把原始代碼中求max的函數(shù)改為求和即可。
代碼：

#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; const int N = 110 , M = 10010; int n , m ; int w[N] , f[M];int main(){cin>>n>>m;for(int i = 1; i <= n ; ++i)cin>>w[i];f[0] = 1;for(int i = 1; i <= n ; ++i)for(int j = m; j >= w[i] ; --j)f[j] += f[j-w[i]];cout<<f[m]<<endl;return 0; }

開心的金明

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解題思路:

這題我們可以將每一個物品的錢看成是體積，而物品的價值則是金額*重要程度。這樣我們就轉化成了01背包問題了、

代碼;

#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; const int N = 50010; int n , m; int f[N];int main(){cin>>m>>n;for(int i = 1 ; i <= n ; ++i){int w , v;cin>>w>>v;v *= w;for(int j = m ; j >= w ; --j)f[j] = max(f[j] ,f[j-w] + v);} cout<<f[m]<<endl;return 0; }

01背包+貪心

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解題思路：

代碼：

#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; const int N = 10010; int n , m ; int f[N]; struct Stone{int s , e ,l;bool operator < (const Stone & w)const {return s * w.l < w.s * l;} }stone[N];int main(){int T;cin>>T;for(int C = 1 ; C <= T ; ++C){m = 0;cin>>n;for(int i = 0 ; i < n ; ++i){int s ,e ,l;cin >>s>>e>>l;stone[i] = {s ,e,l};m += s;}sort(stone , stone + n);memset(f , -0x3f , sizeof f);f[0] = 0;for(int i = 0 ; i < n ; ++i){int s = stone[i].s , e = stone[i].e , l = stone[i].l;for(int j = m ; j >= s ; --j)f[j] = max(f[j] , f[j-s] + e - (j - s)*l);}int res = 0;for(int i = 0 ; i <= m ; ++i)res = max(res , f[i]);cout<<"Case #"<<C<<": "<<res<<endl;}return 0; }

背包問題求解方案數(shù)

貨幣系統(tǒng)

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解題思路·:

這題和上面的數(shù)字組合不同的地方在于數(shù)字組合是每一個數(shù)字只能選一次，而在這里每一個貨幣可以選多次，因此這就是一個完全背包的模板題，在具體實現(xiàn)中，只需要把原始代碼中求max的函數(shù)改為求和即可。

代碼：

#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long LL; const int N = 20 , M = 3010; int n , m; int w[N] ; LL f[M];int main(){cin>>n>>m;for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)cin>>w[i];f[0] = 1;for(int i = 1; i <= n ; ++i)for(int j = w[i] ; j <= m ; ++j)f[j] += f[j-w[i]];cout<<f[m]<<endl;return 0; }

貨幣系統(tǒng)Ⅱ

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解題思路;

等價類有以下三種性質，

因此我們要考慮的是對于每一個a[i]查詢其是否會被a中其他不含它的數(shù)組成，如果不可以我們就要選它，如果可以就不選。那么如何知道呢？那這就是一個和上一題一樣的問題了，我們處理完后，對于每一個a[i]如果其$f[a[i]]!=1$那么說明這個數(shù)不能由別的數(shù)組成

代碼：

#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; const int N = 110 , M = 25010; int n , m ; int f[M] , w[N];int main(){int T;cin>>T;while(T--){cin>>n;memset(f , 0 , sizeof f);f[0] = 1;for(int i = 1 ;i <= n ; ++i){cin>>w[i];for(int j = w[i] ; j <= M ; ++j)f[j] += f[j-w[i]];}int cnt = 0;for(int i = 1; i <= n ;++i)if(f[w[i]] == 1)cnt++;cout<<cnt<<endl;}return 0; }

多重背包問題

慶功會

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解題思路：

我們把撥款金額看成背包容積，價格看成物品體積，價值看成物品價值，那么這個題目就是一個多重背包的裸題。對于這個數(shù)據(jù)范圍我們可以使用二進制優(yōu)化的多重背包來求解。

多重背包詳細解釋

代碼：

#include<iostream> #include<algorithm> #include<vector> using namespace std; const int N = 510 , M = 6010; int n , m; int f[M]; struct Good{int w , v; }; vector<Good>goods;int main() {cin>>n>>m;for(int i = 1; i <= n ; ++i){int w ,v , s;cin>>w>>v>>s;for(int k = 1 ; k <= s; k *= 2){s -= k;goods.push_back({k*w,k*v});}if(s > 0)goods.push_back({s*w,s*v});}for(auto good : goods)for(int j = m ; j >= good.w ; --j)f[j] = max(f[j] ,f[j-good.w] + good.v);cout<<f[m]<<endl;return 0; }

混合背包問題

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解題思路：

我們回顧背包問題的表達式：$dp[i][j]$表示對于前i個物品，總體積不超過j的最大價值。我們發(fā)現(xiàn)它對于物品的類型是沒有限定的。不同類型的物品，我們只是在狀態(tài)計算的時候是不一樣的。同時對于第i個物品我們當前只會考慮第i個物品而不用考慮前i-1個物品的情況。因此這題我們對于第i個物品，按照其類型來進行對應的狀態(tài)計算。

代碼：

#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; const int N = 1010; int n , m; int f[N];int main(){cin>>n>>m;for(int i = 1 ; i <= n ; ++i){int v , w ,s;cin>>w>>v>>s;if(s == 0)// 完全背包{for(int j = w ; j <= m ; ++j)f[j] = max(f[j] ,f[j-w] + v);}else{if(s == -1)s = 1;for(int k = 1 ; k <= s ; k *= 2){s -= k;for(int j = m ; j >= k * w ; --j)f[j] = max(f[j] , f[j-k*w] + k*v);}if(s)for(int j = m ; j >= s*w ; --j)f[j] = max(f[j] , f[j-s*w] + s*v);}}cout<<f[m]<<endl;return 0; }

二維費用的背包問題

二維費用的背包問題

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解題分析：

代碼：

#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; const int N = 1010 ; int n,m,V; int f[N][N];int main(){cin>>n>>m>>V;for(int i = 1 ; i <= n ; ++i){int w1 , w2 ,v;cin>>w1>>w2>>v;for(int j = m ; j >= w1 ; --j)for(int k = V ; k >= w2 ; k--)f[j][k] = max(f[j][k] ,f[j-w1][k-w2] + v);}cout<<f[m][V]<<endl;return 0; }

潛水員

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解題思路：

代碼：

#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; const int N = 100; int n,m , k; int f[N][N];int main(){cin>>n>>m>>k;memset(f , 0x3f , sizeof f);f[0][0] = 0;for(int i = 1 ; i <= k ; ++i){int w1 ,w2 ,c;cin>>w1>>w2>>c;for(int j = n ; j >= 0 ; --j)for(int k = m ; k >= 0 ; --k)f[j][k] = min(f[j][k] ,f[max(0,j-w1)][max(0,k-w2)] + c);}cout<<f[n][m]<<endl;return 0; }

分組背包問題

分組背包

對于分組背包，每一組的物品可以選與不選，如果選，一組物品中只能選一個。那么到這里我們可以知道在每一組內部的選法類似于01背包，那么我們有如下分析

for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<=m;j++)for(int k=1;k<=s[i];k++)//s[i]表示第i組物品的個數(shù)if(j>=v[i][k])//剩余的背包容量j大于第i組的第k個物品的體積 {f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k]);}

機器分配（每一組只取一個）

機器分配

解題思路：
我們將問題抽象一下，將公司看成是一組物品，公司中的物品數(shù)量為m，每一個物品體積為j j ， 價值為g[i][j] 。對于方案我們逆序遍歷每一組，對于每一組我們依據(jù)dp計算式子來找到對應的數(shù)量。

代碼：

#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; const int N = 155; int n ,m; int f[N][N] , g[N][N]; int ans[N]; int main(){cin>>n>>m;for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)for(int j = 1; j <= m ; ++j)cin>>g[i][j];for(int i = 1 ; i <= n ; ++i) // 組數(shù)for(int j = 1; j <= m ; ++j) // 體積 for(int k = 0 ; k <= j ; ++k) // 決策 ， 可以從0開始表示一個都不選f[i][j] = max(f[i][j] ,f[i-1][j- k] + g[i][k]);cout<<f[n][m]<<endl;int res = f[n][m] , s = m ; // s是當前剩余的總可以體積for(int i = n ; i >= 1 ; --i)for(int k = 0 ; k <= s ; ++k)if(res == f[i-1][s-k] + g[i][k]){ans[i] = k;s -= k; //體積減少res -= g[i][k]; // 價值減少break;}for(int i = 1 ; i <= n ;++i)cout<<i<<" "<<ans[i]<<endl;return 0; }

金明的預算方案（每一組里能取多個）

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解題思路：

對于每一組中選多個的情況我們可以用二進制來枚舉每一種可能。同時本題的一個難點是如何分好組。我們可以利用vector來解決（詳細看代碼）

代碼：

#include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> #include <vector>#define w first #define v secondusing namespace std;typedef pair<int, int> PII;const int N = 60, M = 32010;int n, m; PII master[N]; vector<PII> sv[N]; int f[M];int main(){cin>>m>>n;for(int i = 1 ; i <= n ; ++i){int w , v ,q;cin>>w>>v>>q;if(!q)master[i] = {w , w*v};else sv[q].push_back({w,w*v});}for(int i = 1 ; i <= n ; ++i){if(master[i].first)for(int j = m ; j >= 0 ; --j){int len = sv[i].size();for(int k = 0 ; k < 1 << len;++k){int w = master[i].first , v = master[i].second;for(int u = 0; u < len;++u)if( k >> u & 1) w += sv[i][u].w , v += sv[i][u].v;if(j >= w)f[j] = max(f[j] , f[j-w] + v);}}}cout<<f[m]<<endl;return 0; }

背包求解最優(yōu)方案數(shù)

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之前我們求的方案數(shù)是只考慮了體積，表示的是裝滿背包的方案數(shù)。而這題是求的是最優(yōu)解（最大值）的方案數(shù)。

代碼：

#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; const int N = 1010 , mod = 1e9 + 7; int n , m; int f[N] ,c[N];int main(){cin>>n>>m;c[0] = 1;for(int i = 1; i <= n ; ++i){int w , v;cin>>w>>v;for(int j = m ; j >= w ; --j){if(f[j] == f[j-w] + v)c[j] = (c[j] + c[j-w] )%mod;else if(f[j-w] + v > f[j] ) c[j] = c[j-w];f[j] = max(f[j] , f[j-w] + v);}}int cnt = 0;for(int i = 0 ; i <= m ;++i)if(f[i] == f[m])cnt = (cnt + c[i])%mod;cout<<cnt<<endl;return 0; }

背包求解具體方案

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解題思路：
一般來說求方案的話，一種方法是倒推和在dp的時候記錄。這里我們依據(jù)01背包的式子進行倒推。

代碼：

#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; const int N = 1010; int n , m ; int w[N] , v[N]; int f[N][N] , way[N];int main(){cin>>n>>m;for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)cin>>w[i]>>v[i];for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)for(int j = 0 ; j <= m ; ++j){f[i][j] = f[i-1][j];if(j >= w[i])f[i][j] = max(f[i-1][j] , f[i-1][j-w[i]] + v[i]);}int maxv = f[n][m] , s = m;for(int i = n ; i ; --i)if(f[i-1][s-w[i]] + v[i]== maxv)way[i] = 1 , maxv -= v[i] , s -= w[i];for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)if(way[i])cout<<i<<" ";return 0; }

然后有一些數(shù)據(jù)被卡了，發(fā)現(xiàn)題目要的是字典序最小，這就是很惡心了。一般對于字典序最小我們都是通過貪心來解決。對于這題就是從前往后詢問每一個物品，

如果按照平時的背包問題我們是從前往后遍歷的，那么我們在倒推的時候就需要從后往前這樣就不符合貪心的原則了。因此我們在dp的時候倒著堆。$dp[i][j]$表示從第i個物品開始體積不超過j的最大價值。

代碼：

#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; const int N = 1010; int n , m ; int w[N] , v[N]; int f[N][N] , way[N];int main(){cin>>n>>m;for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)cin>>w[i]>>v[i];for(int i = n ; i >= 1 ; --i)for(int j = 0 ; j <= m ; ++j){f[i][j] = f[i+1][j];if(j >= w[i])f[i][j] = max(f[i][j] , f[i+1][j-w[i]] + v[i]);}int j = m;for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)if(j >= w[i] && f[i][j] == f[i+1][j-w[i]] + v[i])way[i] = 1 , j -= w[i];for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)if(way[i])cout<<i<<" ";return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划之背包模型及其扩展应用的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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