鴿巢原理

• 前言
• 鴿巢原理
• • 運(yùn)用1
  • 運(yùn)用二
  • 運(yùn)用三
• 鴿巢原理的推廣
• • 推論
  • • 運(yùn)用一
    • 運(yùn)用二
• 鴿巢原理在幾何上的作用
• 鴿巢原理對于數(shù)學(xué)的證明

前言

鴿巢原理又稱抽屜原理或鞋盒原理，這個(gè)原理最早是由狄利克雷（Dirichlet）提出的。鴿巢原理是解決組合論中一些存在性問題的基本而又有力的工具。它是組合數(shù)學(xué)中最簡單也是最基本的原理，從這個(gè)顯而易見的原理出發(fā)，可以導(dǎo)出許多并非顯而易見的有趣結(jié)果，而這些結(jié)果常常是令人驚奇的。特別是Ramsey理論產(chǎn)生了重要而深遠(yuǎn)的影響。1928年，年僅24歲的英國杰出數(shù)學(xué)家F. P. Ramsey發(fā)表了著名論文《論形式邏輯中的一個(gè)問題》，他在這篇論文中，提出并證明了關(guān)于集合論的一個(gè)重大研究成果，現(xiàn)已公認(rèn)為Ramsey定理。他開拓的這一新領(lǐng)域至今在理論上仍十分活躍，而且近年來在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域獲得了成功的應(yīng)用。

鴿巢原理對于我們在解題的時(shí)候?qū)夥ù嬖谛院驼_性的一種強(qiáng)有力的方法。

鴿巢原理

定理 若有n+1只鴿子飛回n個(gè)鴿巢，則至少有一個(gè)鴿巢里有不少于兩只鴿子。
我們還可以這么描述，若由n+1個(gè)東西放入n個(gè)盒子中，則至少有一個(gè)盒子有不少于兩個(gè)物品。
證明：(反證法)假設(shè)n個(gè)鴿巢中，每個(gè)鴿巢里至多有一只鴿子，則鴿子的總數(shù)至多為n，但是有n+1只鴿子，矛盾。
[說明]：(1)定理的條件?結(jié)論?實(shí)質(zhì)上指出了一種必然性。
(2)鴿巢原理的等價(jià)原理：若有n+1個(gè)物件放入n個(gè)盒子，則至少有一個(gè)盒子里有不少于兩個(gè)的物件。
(3)鴿巢原理的應(yīng)用關(guān)鍵是：
“認(rèn)準(zhǔn)鴿子”、“構(gòu)筑鴿巢”。

運(yùn)用1

從整數(shù)1，2，…，100中任選51個(gè)整數(shù)，證明在選取的這些整數(shù)中必存在兩個(gè)整數(shù)，其中之一可被另一個(gè)整除。

證明：
對于1到100之間的任何整數(shù)，都可以表示為$2^n.\alpha$的形式，其中n≥0，且α為50個(gè)奇數(shù)1，3，…，99之中的數(shù)。故在所任選的51個(gè)整數(shù)中，至少有兩個(gè)整數(shù)含有相同的奇數(shù)因子α，令這兩個(gè)整數(shù)為$2^r?\alpha 和2^s?\alpha ，不妨r>s，則2^s?\alpha 能被2^r?\alpha 整除$。

• 對于1到100之間的任何整數(shù)，都可以表示為$2^n.\alpha$的形式 .這是因?yàn)槲覀冎廊魏我粋€(gè)數(shù)都能有唯一的質(zhì)因子乘積表示。在這些質(zhì)因子中，2后邊的都是奇數(shù)，因此無論多少個(gè)奇數(shù)的乘積任然是奇數(shù)。因此就有上面的結(jié)論。

運(yùn)用二

$有9個(gè)任給定的整數(shù)a_1,a_2,?,a_9,試證明必存在兩個(gè)整數(shù)k和l(0\le k\le l\le 9)，使得a_{k+1}+a_{k+2}+...+a_l能被9整除$。

證明：
首先，如果某個(gè) $a_i(1\le i\le 9)$ 能被9整除，取k=l=i、得證。
否則，由9個(gè)整數(shù)可得到9個(gè)連續(xù)的和式： $a1,a1+a2,a1+a2+a3,....,a1+a2+?+a9$。 如果某個(gè) $a1+a2+?+ai(1<i\le 9)$ 能被9整除，即存在兩個(gè)整數(shù)$k和l(0\le k\le 1=i\le 9)$，得證。
否則，上述9個(gè)和式被9除余數(shù)可能為1，2，…，8，由鴿巢原理知最少存在兩個(gè)和式被9除余數(shù)相同，不妨設(shè)為 $a1+a2+?+ak=a?9+r和a1+a2+?+al=9?b+r,(k<l)$, 那么它們的差 $a_{k1}+a_{k+2}+?+a_l=9?(a?b)(0\le k\le 1\le 9)$能夠被9整除。得證

• 對于這個(gè)例子我們可以推廣為: $$有K個(gè)數(shù)，那么必有一個(gè)連續(xù)的序列的和能被S整除。(S<=K)$$

運(yùn)用三

$在一個(gè)正六邊形內(nèi)任置7點(diǎn)，則至少有兩點(diǎn)之間的距離小于該正六邊形外接圓的半徑$

證明：連接這個(gè)正六邊形的三條對角線，得到六個(gè)小正三角形，每個(gè)正三角形的直徑都恰是正六邊形外接圓的半徑。正六邊形內(nèi)置7點(diǎn)，由鴿巢原理知，總有一個(gè)三角形內(nèi)至少有兩個(gè)點(diǎn)，顯然它們的距離小于正六邊形外接圓的半徑。

鴿巢原理的推廣

定理：設(shè)m?,m?,… ,mn 均為正整數(shù).如果有 m1+m2+?+mn?n+1 只鴿子飛回n個(gè)鴿巢，則或者第一個(gè)鴿巢至少有m，只鴿子，或者第二個(gè)鴿巢至少有m，只鴿子，…，或者第n個(gè)鴿巢至少有m，只鴿子。
證明：（反證法）若定理結(jié)論不成立，即第一個(gè)鴿巢至多有 m1?1 只鴿子，第二個(gè)鴿巢至多有m2-1只鴿子，…，第n個(gè)鴿巢至多有m，-1只鴿子。則鴿子總數(shù)至多為
$(m_1?1)+(m_2?1)+?+(m_n?1)=m_1+m_2+?+m_n?n$
這與設(shè)定的鴿子數(shù) m1+m2+?+mn?n+1 相矛盾。得證。

[注意]：
(1)鴿巢原理的一般形式是推廣形式的特例，事實(shí)上，當(dāng) m1=m2=??mn=2 時(shí)，
m1+m2+?+mn?n+1=n+1
(2)鴿巢原理的等價(jià)表示：設(shè)m，，m2，… mn 為正整數(shù)，若有 m1+m2+?+mn?n+1 個(gè)球放入n個(gè)盒子，則或者第一個(gè)盒子至少有m，個(gè)球，或者第二個(gè)盒子至少有m，個(gè)球，…，或者第n個(gè)盒子至少有m，個(gè)球。

推論

推論1：$如果m_1=m_2=?=m_n=r,若將n(r?1)+1個(gè)球放入n個(gè)盒子中，則至少有一個(gè)盒子不會(huì)少于r個(gè)球。$

推論2；$如果n個(gè)正整數(shù)m_1，m_{?},?,m_n的平均數(shù)m_1+m?2+?+m_n>r?1則m_1,m_2,?,m_n中至少有一個(gè)正n整數(shù)不會(huì)小于r。$

推論3：$有m個(gè)球放入n個(gè)盒子，則至少有一個(gè)盒子中有不?\frac{m?1}{n}?+1個(gè)球。$

這三個(gè)推論在證明的時(shí)候很常用，下面舉幾個(gè)例子。

運(yùn)用一

• 設(shè)有兩個(gè)隊(duì)Q，和Q，每隊(duì)都有30人，其中Q隊(duì)由15名男孩和15名女孩組成，Q，隊(duì)男、女孩人數(shù)不限這兩隊(duì)按序號面對面站好。然后，Q，隊(duì)不動(dòng)，Q.隊(duì)迂回往右錯(cuò)動(dòng)，每次依序錯(cuò)動(dòng)一個(gè)位置。試證明當(dāng)Q：錯(cuò)動(dòng)到某一位置上時(shí)，Q，和Q，在對應(yīng)位置上的兩個(gè)小孩至少有15對是性別相同的。

Q隊(duì)迂回錯(cuò)動(dòng)一圈再回到初始狀態(tài)時(shí)，每個(gè)小孩，無論是男孩還是女孩，在對應(yīng)位置上都與Q?隊(duì)的15個(gè)小孩同性別。故同性別的總對數(shù)為15×30=450。
因此，每個(gè)錯(cuò)動(dòng)位置上同性別的平均對數(shù)為 45030=1 15>15-1。由推論2知，必存在某一位置，當(dāng)Q錯(cuò)動(dòng)到這個(gè)位置上時(shí)，則性別相同的小孩至少有15對。

• 無論是男孩還是女孩，在對應(yīng)位置上都與Q?隊(duì)的15個(gè)小孩同性別 ： 意思是好比我是一個(gè)男孩，那么我在轉(zhuǎn)一周之后一定會(huì)與對面的15個(gè)男孩碰面，那么有15次。

運(yùn)用二

• $若給定n2+1個(gè)不等實(shí)數(shù)構(gòu)成的序列a_{?},a_{?},\dots a_{n^2+1}則該序列中至少存在一個(gè)由n+1個(gè)實(shí)數(shù)組成的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減子序列。$

證明：不妨先考慮尋找單調(diào)遞增子序列。
令$m_i$表示從$a_i$開始最長遞增子序列的項(xiàng)數(shù)或長度。若有某個(gè)$m_i\ge n+1$ 則定理得證。
否則，注意到給定的序列有 $n^2+1$ 個(gè)實(shí)數(shù)，故可產(chǎn)生 $n^2+1個(gè)長度，m_1,m_2?m_{n^2+1},如果全部的m_i<n+1,(i=1,2,?,n^2+1則這些整數(shù)必定在1和n之間。相當(dāng)于把n^2+1個(gè)球放入n個(gè)盒子$。
由推論1知，$(取m_1=m_2=?=m_{n^2+1}=r=n+1,將n(r?1)+1=n^2+1個(gè)球放入n個(gè)盒子中，至少有某個(gè)盒子里不少于r個(gè)球。)在m_1，m_2,?,m_{n^2+1}中至少有r=n+1個(gè)數(shù)相等。不妨設(shè)m_1=m_2=?=m_{n+1}=m,且1\le i1<i2<?<in+1\le n2+1,或者說a，，ai2,?,ain+1有相同的m值，則必有a1>a1>?>ai+1即存在著一個(gè)長度為n+1的單調(diào)遞減子序列。若不然，假如a{i}_1<a{?}_{?}會(huì)有m_{i_1}=m_{i_2}+1=m_{i_2}=m,矛盾$。

鴿巢原理在幾何上的作用

在邊長為1的正方形內(nèi)任取5個(gè)點(diǎn)，那么至少有兩個(gè)點(diǎn)之間的距離不會(huì)超過$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .證明：將其4等分在每一個(gè)小方格中最遠(yuǎn)紅色部分，為$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。對于5個(gè)點(diǎn)，由鴿巢原理知至少有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)格子中，那么這兩個(gè)點(diǎn)的距離小于$\frac{\sqrt{2}}{2}$

在邊長為1的等邊三角形內(nèi)任取5個(gè)點(diǎn)，至少有兩個(gè)之間的距離小于$\frac{1}{2}$.證明類似上一題，圖形如下

鴿巢原理對于數(shù)學(xué)的證明

$a_1,a_2,a_3,為三個(gè)任意整數(shù)，b_1{b}_2{b}_3為a_1,a_2,a_3的任一排列，則a_1?b_1,a_2?b_2,a_3?b_3中至少有一個(gè)為偶數(shù)。$證明：假設(shè)其全為奇數(shù)，那么三個(gè)奇數(shù)相加任然為奇數(shù)，我們有$a_1?b_1+a_2?b_2+a_3?b_3=0,0不是奇數(shù)，故矛盾。$

任取11個(gè)整數(shù)，求證其中至少有兩個(gè)它們的差是10的倍數(shù)。證明：0也是符合的，由11個(gè)數(shù)，,它們的差為10的倍數(shù)等價(jià)于它們對10取余之后的余數(shù)相同，由余數(shù)為0-9，一共10個(gè)，由鴿巢原理知，至少有兩個(gè)數(shù)的余數(shù)相同，那么這兩個(gè)的差符合條件。

上一問的推廣：設(shè)m為一自然數(shù)，任取m+1個(gè)整數(shù)，則其中至少有2個(gè)整數(shù)的差是m的倍數(shù)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法之组合数学及其算法篇(二） ----- 鸽巢原理的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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