高中里有句話，得數(shù)學(xué)者得高考，此言不虛，清北學(xué)生難見數(shù)學(xué)不足140的，反之，數(shù)學(xué)140多分的除非特別偏科，大學(xué)一般不會(huì)差。那么我們?cè)趺础暗脭?shù)學(xué)”呢？

針對(duì)目前高三的學(xué)生：如果你的數(shù)學(xué)水平不高，那么，你需要保住一定的分才能提升；如果中游水平，你需要保住一定的分才能突破；如果你是數(shù)學(xué)優(yōu)秀生，你需要保住一定的分才能不敗。

保分大題，是數(shù)學(xué)學(xué)科的“腰”，你發(fā)力的軸承。保分大題的范圍就是除去解析幾何與導(dǎo)數(shù)的所有大題，這些題難度一般，是所有人都可以通過一定訓(xùn)練穩(wěn)穩(wěn)拿在手里的題。

數(shù)學(xué)滿分150分，水平中等的同學(xué)，要爭(zhēng)取把46分的保分大題拿到手，為自己的解析幾何與導(dǎo)數(shù)留下“犯錯(cuò)”的余地。

而對(duì)于程度較差的同學(xué)，保分大題由于其“套路固定，思維簡單，計(jì)算量較小”的特點(diǎn)，也是提升與得分的基礎(chǔ)。

即使是對(duì)于數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的同學(xué)，高手過招時(shí)，導(dǎo)數(shù)、解析幾何不分伯仲，保分大題卻是體現(xiàn)差距的關(guān)鍵所在。再次贅言，還希望引起大家重視。

本文主要講述學(xué)習(xí)方法與高考常用思維方法與常見易錯(cuò)點(diǎn)，比較概括，也不可能面面俱到。特殊問題以及具體的思維方法還需要大家平日的積累與反復(fù)練習(xí)。

建議

首先一定要注意數(shù)列的離散性，在自然數(shù)集合里討論數(shù)列，便多了許多有用的限制條件，如。其次也可以從函數(shù)的角度看數(shù)列，即每一項(xiàng)的數(shù)值為n的函數(shù)，這是于利用變量替換的方法求解通項(xiàng)公式的思維基礎(chǔ)。數(shù)列中常見的遞推關(guān)系，可以理解為數(shù)列某種變換形式的“導(dǎo)函數(shù)”，尋求通項(xiàng)公式時(shí)應(yīng)用的方法也不過累加，累乘，迭代等。從習(xí)題中尋找規(guī)律，尋找易錯(cuò)點(diǎn)和考點(diǎn)，總結(jié)思路方法，熟悉基本定義與數(shù)列的常用性質(zhì)。及時(shí)整理，及時(shí)反思，時(shí)刻警醒自己。

基礎(chǔ)知識(shí)

其中，基于等差或等比數(shù)列的性質(zhì)會(huì)考察第一問。一般利用的為數(shù)列遞推表達(dá)式或者和的性質(zhì)。這些內(nèi)容老師會(huì)在上課時(shí)為大家詳細(xì)說明，也是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，甚至輔導(dǎo)書上都會(huì)有比較全的總結(jié)，這里不一一贅述。題設(shè)中會(huì)給出的條件一般為：某幾項(xiàng)數(shù)值，含和式的等式，含數(shù)列表達(dá)式的等式，數(shù)列遞推表達(dá)式。

常見思路

經(jīng)過總結(jié)，大致有以下一系列常見思路。

易錯(cuò)點(diǎn)

1.忽視等遞推關(guān)系成立的條件，從而忽視檢驗(yàn)前幾項(xiàng)。

2.忽視n為正整數(shù)的默認(rèn)條件，冒然求導(dǎo)，或利用不等式得到非整數(shù)的取等條件。也會(huì)因此心理忽視這一個(gè)很好用的條件。

3.裂項(xiàng)相消忘記留下了幾項(xiàng)。可以先寫幾項(xiàng)驗(yàn)證。

4.通過方程求解的數(shù)列可能會(huì)漏下情況。

5.等比數(shù)列注意公比為1不等同于常數(shù)列(如0)。

6.下角標(biāo)的不規(guī)范可能會(huì)使“-1”模棱兩可，需要注意。

7.累加法或累乘法漏掉第一項(xiàng)。

等等，這些易錯(cuò)點(diǎn)大家各有不同，還需要的是及時(shí)整理與反思。

建議

以圖形為基礎(chǔ)，挖掘角與邊的不等關(guān)系。善于利用邊角互換，善于利用公共邊與已知邊。注意范圍限制，注意多解與存在問題，不能忘記解三角形本身為幾何問題(幾何本意即為大地測(cè)量)，要善用幾何方法，利用高線、垂線等特殊輔助線。解三角形的基礎(chǔ)是測(cè)量，問題多為求值或者求范圍。解三角形一般也會(huì)結(jié)合輔助角公式或者函數(shù)最值來考察，思維靈活而套路固定。在學(xué)習(xí)過程中，依然要總結(jié)規(guī)律，引用沈文選教授的話“積累基本圖，適時(shí)總結(jié)規(guī)律”。

基礎(chǔ)知識(shí)

常見思路

1.利用已知邊(長度已知)進(jìn)行邊角互化。

2.反復(fù)利用公共邊。

3.挖掘角度條件，邊長條件

4.若出現(xiàn)四邊形，一般有兩種思路。延長成為三角形或者尋求對(duì)角線，分隔為兩個(gè)三角形。

5.若出現(xiàn)圓的內(nèi)接四邊形，利用好對(duì)角互補(bǔ)。

6.邊角互化后若出現(xiàn)了求面積范圍的問題，一般建議利用角。見例題。

注意銳角三角形的限制。我們的數(shù)學(xué)直覺告訴我們可以用圖像找到極值(直角時(shí)與正三角形時(shí))，我們不妨計(jì)算一下與答案相比較。

之后大家再展開計(jì)算即可，其實(shí)最大值的取得有規(guī)律的，大家可以從下圖看出來(即兩個(gè)sin數(shù)值相等的時(shí)候有最大值，看圖就很直觀了，我取的是弧度為1的非特殊角)。

若換為邊，則有4=b^2+c^2-bc，b和c是出現(xiàn)了，但是你發(fā)現(xiàn)利用不等式求最大值還好，最小值時(shí)既要利用“銳角”找出b與c范圍，又由于多變量的牽扯，還要利用規(guī)劃思想。心煩意亂的你利用三角換元(這個(gè)三角換元也很講求技巧)，卻正好又導(dǎo)出了第一種方法的式子，真是費(fèi)力不討好。

易錯(cuò)點(diǎn)

1.忽視角的范圍。任何函數(shù)必然有其定義域，三角形中最普遍的是三角和為一百八十度，有時(shí)會(huì)有“銳角三角形”等的限制。

2.忽視多解，正弦值為正說明的信息很少。一般與邊綜合判斷。若改角對(duì)應(yīng)的邊不是最長邊，則比為銳角。但是若是，其銳鈍要再次判斷，無法判斷時(shí)則為多解。

3.忽視公共邊，已知角，已知邊等。條件利用不足。

4.面對(duì)大量計(jì)算懷疑自己的能力(一般情況下，你應(yīng)該檢查一下，解三角形的計(jì)算式一般是美觀的)。

5.基本公式出錯(cuò)。我在這里不列舉那和角公式了，可以自己用向量證明。

建議

高中要求的有兩個(gè)事件(相互獨(dú)立，互斥)、兩大概型(古典概型與幾何概型)、四種抽樣與四類分布(兩點(diǎn)分布，二項(xiàng)分布，超幾何分布與正態(tài)分布)。其中都有一個(gè)很重要的關(guān)鍵詞即“等可能”。有同學(xué)可能會(huì)在處理相同模型時(shí)采取的方法不同而得到不同的結(jié)果，此時(shí)就應(yīng)該考慮“等可能”這一條件是否被滿足。概率是與情況總數(shù)相聯(lián)系的，因此必須打好排列組合的基礎(chǔ)(對(duì)，基礎(chǔ)就可以)。總體來講，要積累與思考幾類情況與模型的使用條件與計(jì)算方法。在答題時(shí)，分類不重不漏。積累自己犯下的錯(cuò)誤，時(shí)刻警醒。概率統(tǒng)計(jì)需要大家回歸課本，分析課本案例，熟稔課本上出現(xiàn)的一切概念(樣本的重心值什么，回歸系數(shù)R有什么意義，與k作用相似的w等)，才可以自如應(yīng)對(duì)高考的變化。

基礎(chǔ)知識(shí)

1.分類的思想。

2.分步完成的思想。

3.上述幾類事件、概型，抽樣，分布的一切相關(guān)計(jì)算與應(yīng)用都應(yīng)爛熟于心。

4.樣本數(shù)據(jù)的幾大特征。

5.回歸方程的相關(guān)知識(shí)。15年高考考察了一次，也是一個(gè)容易被忽視的方面。

6.分布列的寫法。

7.善用對(duì)立事件。

8.排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算。(有時(shí)會(huì)有最值問題)

9.掌握對(duì)頻率分布直方圖，莖葉圖與正態(tài)曲線的處理。

常見思路

1.先設(shè)事件，便于表示。每種情況以事件的組合寫出，便于依此列出計(jì)算式。

2.找到所適用的模型，套用公式，直接計(jì)算。注意是要找到，認(rèn)真閱讀條件，觀察取樣方法，列出相關(guān)計(jì)算式。

3.按照一定依據(jù)分類不重不漏地列舉出所有可能情況。

4.線性規(guī)劃問題，構(gòu)造可行區(qū)域，尋求面積比。

5.區(qū)別對(duì)待特殊量(如“某人是xx的粉絲，投票時(shí)必投xx，其余兩票隨機(jī)”)。

6.分解問題，如“3:2贏”可以分解成“贏在第幾局”，從而列出計(jì)算式。

7.利用對(duì)立事件求得難求的概率。

8.抓住“至少”“至多”“恰好”等關(guān)鍵詞。

9.利用E(ax+b)與D(ax+b)的計(jì)算公式。而離散型隨機(jī)變量的期望和均值一般相等(他們的定義式長的都一樣)。有一個(gè)現(xiàn)象是一般最“混亂”的情況概率最大。

10.明白并記憶正態(tài)曲線的參數(shù)意義，記住表達(dá)式的樣子(見課本)以及曲線的形狀決定，以及原則。概率是以定積分的方式表示的。

易錯(cuò)點(diǎn)

1.情況有重復(fù)或遺漏，分類依據(jù)不好。

2.計(jì)算時(shí)盲目用公式，不檢查。

3.答非所問。

4.對(duì)公式記憶不清，應(yīng)該當(dāng)應(yīng)用時(shí)反而去利用原理式計(jì)算，耽誤時(shí)間。

5.對(duì)抽樣的特點(diǎn)分析不清就動(dòng)手，注意區(qū)分“放回”與“拿出后不放回”。

6.分析無條理，心煩意亂。建議將條件列表表示。

7.將非等可能的事件應(yīng)用到幾何概型(最常見，如角與線段)或古典概型。

8.不會(huì)利用P(B|A)=P(AB)/P(A)來判斷AB是否相互獨(dú)立。

9.概型判斷不清，誤認(rèn)為出現(xiàn)坐標(biāo)系就是幾何概型。

建議

將立體幾何中的三公理熟記于心，并牢記證明所用的八條定理。將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題是所有高中立體幾何的核心思路。為了照顧一些同學(xué)初中知識(shí)的欠缺，立體幾何中涉及的平面知識(shí)局限于特殊三角形，特殊四邊形以及圓的直徑所對(duì)圓周角為九十度等。甚至有了“出等腰就做高”等慣常而有效的做法。在學(xué)習(xí)過程中，主要是加強(qiáng)對(duì)公理、定理以及推論的證明及掌握，加強(qiáng)計(jì)算能力。在向量引入后，理科立體幾何幾乎成了“弱智”題，不需要大量思考，只需要仔細(xì)認(rèn)真的計(jì)算就可以完成大部分習(xí)題。

基礎(chǔ)知識(shí)

1.立體幾何三公理(其中三個(gè)不共線的點(diǎn)確定一個(gè)平面在選擇題立體幾何與排列組合部分都有考察)。

2.證明 平行(線線，線面，面面)，垂直(線線，線面，面面)的幾何方法與向量方法。

3.求線段長度(幾何方法與向量方法)。

4.求角度(線線，線面，面面)幾何與向量方法。

5.基本形體的定義。

6.關(guān)于球的基本問題。

7.直四棱柱模型的靈活應(yīng)用。

8.三視圖(大題中出現(xiàn)較少，作用是提供投影長度)。

9.棱錐模型。

10.三垂模型。

11.三余弦模型。

12.向量基底方法與建系方法(建系是利用特殊基底)。

常見思路

建系，見直角就建系。但是可以靈活一些。

2.利用基底向量求解異面直線的夾角。(即用其他簡單向量表示已知直線的一部分)

3.利用體積不變，改變頂點(diǎn)求高線。

4.利用平移，多數(shù)利用中位線。

5.利用三垂線定理。

6.將部分形體放入直四棱柱框架便于研究。

7.存在性問題一般設(shè)，作答時(shí)應(yīng)說明點(diǎn)的位置(如：AC中點(diǎn)處)。

8.關(guān)于法向量：

a)一般是用于求二面角，就會(huì)面臨判斷銳鈍的問題。一定要判斷向量的方向！！！

b)利用法向量求高我就不說了，原理是利用點(diǎn)乘的幾何意義。

c)利用其求線線夾角，證明線面平行或垂直等也很簡單。

d)求線面角時(shí)不要忘記線面角與線與法線的成角是互余的。

易錯(cuò)點(diǎn)

1.公理定理等引用錯(cuò)誤，條件不足。

2.建系不嚴(yán)謹(jǐn)，默認(rèn)直角等行為應(yīng)當(dāng)注意。

3.計(jì)算失誤。

4.判斷二面角的銳鈍錯(cuò)誤。

5.線面角的正弦值與余弦值應(yīng)當(dāng)注意。

6.存在性問題一般都是存在的，不存在的情況一般可以從幾何上直接找矛盾。

各種角的取值范圍不清楚，如線面成角一定是大于0小于等于Pi/2的。

新考綱解讀

近來聽說學(xué)校大量練習(xí)了很多思路不是十分常規(guī)的題目，但實(shí)際上，2017年新考綱在解析幾何方面并無變化，還在其他的地方弱化了幾何的要求。

基本功

相當(dāng)一部分的解析幾何題目可以直接通過暴算的方法直接解出，可以說對(duì)基本功扎實(shí)的同學(xué)來說沒有什么技術(shù)含量。

計(jì)算能力在數(shù)學(xué)物理化學(xué)等學(xué)科十分重要，不只是數(shù)學(xué)，包括理綜都會(huì)出現(xiàn)這樣的情況：在考試當(dāng)中可能出現(xiàn)大量復(fù)雜的計(jì)算內(nèi)容，并不是很難，卻會(huì)拉開相當(dāng)大的區(qū)分度。因此，計(jì)算速度和準(zhǔn)確度都應(yīng)該大量訓(xùn)練。

筆者曾是物理競(jìng)賽生，體會(huì)過被海量計(jì)算支配的恐懼，在此也提出一些提高計(jì)算能力的建議：

?一 .先從心理上戰(zhàn)勝：不要畏懼，而是要學(xué)著接受甚至熱愛有大計(jì)算量的題目，因?yàn)槿绻麖默F(xiàn)在開始重視，你的計(jì)算能力就會(huì)提高，從而更容易在計(jì)算量大的題目中占得先機(jī)(因?yàn)橛?jì)算量大意味著此題并不需要什么新奇的想法，出題的難度總是平衡的)，從而更加重視計(jì)算、熱愛計(jì)算，形成良性循環(huán)。

二. 從練習(xí)上突破：平時(shí)的題目一定要算到底，不要有了思路就跳過。不論是平時(shí)練習(xí)小測(cè)還是考試犯的計(jì)算錯(cuò)誤，都一定要把這個(gè)題目重新計(jì)算，直到算出正確結(jié)果為止。(計(jì)算是一種跨越學(xué)科的基本能力，計(jì)算極弱的同學(xué)，在上面多花點(diǎn)時(shí)間，收益的會(huì)是共計(jì)450分學(xué)科的成績騰飛)

建議積累幾道典型的計(jì)算難題在積累本上(如2013山東卷理科圓錐曲線，話說逝去的山東卷大多以計(jì)算難而聞名)，考前找個(gè)自習(xí)算一算題目，不求多，專門找計(jì)算相對(duì)困難的練，如果算對(duì)就會(huì)大幅提振信心，并起到熱身的作用，臨陣磨槍，不快也光。

三. 從細(xì)心上根治：據(jù)測(cè)算，算錯(cuò)的題目95%都是抄錯(cuò)的，所以一定要規(guī)范書寫，尤其要規(guī)范草稿紙的用法。草稿紙一定要分題號(hào)分區(qū)域?qū)懬宄?#xff0c;不要太省紙，方便剩余時(shí)間回查低級(jí)失誤。草稿紙建議折起來用，我推薦將A4紙較長的一段折成三部分，既有效利用空間，又避免了中間結(jié)果字母過多時(shí)一行寫不下的尷尬情況。平時(shí)也要采取措施對(duì)自己的計(jì)算錯(cuò)誤進(jìn)行適當(dāng)?shù)目偨Y(jié)和懲罰。

走正道

老師和同學(xué)總結(jié)過大量的圓錐曲線小題中間結(jié)論，看似十分簡單有效，但根據(jù)實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)，一定不要在考前突擊這些中間結(jié)論還以為如獲至寶。這些結(jié)論確實(shí)省時(shí)間，但一般的題目不會(huì)因?yàn)樗麄兌唵翁?#xff0c;一旦記錯(cuò)結(jié)論還是致命的。所以，只需掌握所有的定義以及通用解題方法，然后完全交給自己的計(jì)算能力來解決。這些結(jié)論在能準(zhǔn)確記憶住幾個(gè)的情況下可以適當(dāng)利用，(畢竟他們還是幾何方法推出，而新考綱似乎有弱化幾何的趨勢(shì))用一個(gè)算賺，不用也不虧。

當(dāng)然，如果可能，可以在了解結(jié)論的情況下熟練它們的推出方法，然后考試會(huì)現(xiàn)推(這不強(qiáng)求)。

分類別

圓錐曲線小題基本只有三種方法：使用定義；暴算求解；特殊值排除(解決定值問題有奇效)。

大題一般有以下幾種：

1、求特定的值(求某一條直線或者某個(gè)值)，因?yàn)樘唵嗡砸话悴豢?#xff0c;在考試中如果出現(xiàn)一定是比較難算的，那就耐心算

2、求定值：我們先取幾種特殊情況確定定值，心中有數(shù)，然后寫上必要的步驟(問老師什么必須寫在卷面上)，然后裝作十分費(fèi)力的消去一些值，整理出我們?cè)缫言囼?yàn)得到的正確答案。

3、求范圍：一般會(huì)整理出一個(gè)含未知數(shù)的式子，大多可用基本不等式解決，較難的題目考慮求導(dǎo)。自己可以總結(jié)什么情況下設(shè)x還是設(shè)y會(huì)更簡單一些。找到最值別忘了檢驗(yàn)取等條件(也可以更為直觀的得到最值在什么情況下取得)。

4、求軌跡：基本方法有幾何法(都是初中幾何知識(shí)+高中要求的定義)和消參法，沒有什么特別之處，注意檢查取值范圍(某條曲線的一部分)

總之，圓錐曲線并不難，計(jì)算能力是關(guān)鍵。希望大家不要畏懼，而是努力把它化為自己保分題目中的一部分。

另外，如果有的題目一時(shí)想不到特別好算的辦法，可以考慮直接解出點(diǎn)坐標(biāo)(有一些題目是故意這么設(shè)計(jì)的)。

不等式選講

建議

不等式向來是思維靈活的，選考部分的熱門是不等式串，柯西不等式和絕對(duì)值三角不等式。又由于絕對(duì)值三角不等式思維簡單(分類討論)，一般出現(xiàn)時(shí)就會(huì)讓大家很開心。但是對(duì)于柯西不等式與不等式串，技巧性就更加強(qiáng)。學(xué)習(xí)時(shí)建議多積累方法，注意觀察多種方法證明的可行性，不同的不等式有不同的適應(yīng)范圍，放縮能力也有“好壞之分”。所以要多多積累，多多思考。嚴(yán)抓條件，及時(shí)整理。

極坐標(biāo)系與參數(shù)方程

建議

極坐標(biāo)系與參數(shù)方程套路明確，思路簡單，計(jì)算量小，是眾多考生的最愛。但是極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程許多是基于幾何意義產(chǎn)生的，如果只是知道形式不知內(nèi)核。題型稍作變化就會(huì)出錯(cuò)，手忙腳亂。因此建議學(xué)習(xí)時(shí)仔細(xì)標(biāo)注易錯(cuò)點(diǎn)，考試時(shí)留心參數(shù)的幾何意義及范圍，仔細(xì)讀題，認(rèn)真對(duì)待，才能做到不失分。

極坐標(biāo)方程

1.注意極徑r的幾何意義(可以取到全體實(shí)數(shù))，極角φ的定義與必修四中類似，在寫方程時(shí)一定要注意標(biāo)注范圍。

2.牢記幾類特殊的極坐標(biāo)方程，簡單的方程可以自己畫出圖像。

3.注意極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及化后的參數(shù)取值范圍。

4.極坐標(biāo)下要注意畫圖，畫圖會(huì)給你許多思路與簡便的方法，節(jié)省時(shí)間。

5.有必要掌握柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的坐標(biāo)互化，同樣畫圖可以幫助理解與記憶。

6.極坐標(biāo)系中也會(huì)有余弦定理與正弦定理的應(yīng)用，一定要靈活。

7.出現(xiàn)“掃過的面積”一定要畫圖，不要憑空想象以免漏掉某部分的面積。

8.其中的對(duì)稱(如關(guān)于極軸，極點(diǎn)等)可以做適當(dāng)了解，高考目前沒有考察過。

參數(shù)方程與坐標(biāo)變換

1.注意參數(shù)范圍。參數(shù)可以沒有直接的幾何意義，但是一定有范圍。養(yǎng)成良好習(xí)慣。

2.一般為直線的參數(shù)方程和圓的參數(shù)方程。直線的參數(shù)方程考察最多，引入了方向向量的概念，要熟知參數(shù)t的幾何意義以及其應(yīng)用。(結(jié)合韋達(dá)定理與其他曲線方程聯(lián)立)

3.直線的參數(shù)方程要注意t的系數(shù)的平方和是否為1，若否，要標(biāo)準(zhǔn)化后再進(jìn)行計(jì)算。

4.區(qū)分“一般方程”，“標(biāo)準(zhǔn)方程”和“參數(shù)方程”。三種方程的寫法不同。

5.坐標(biāo)變換注意的一點(diǎn)就是變量替換思想。比如圓到橢圓， x=x’,y’=2y再將x’與1/2 y’帶入原來x,y滿足的方程即可。

總結(jié)

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