學(xué)習(xí)階段：大學(xué)數(shù)學(xué)，積分變換。

前置知識(shí)：微積分、復(fù)變函數(shù)、傅里葉變換

tetradecane：積分變換（2）——連續(xù)傅里葉變換?zhuanlan.zhihu.com

我們總結(jié)一下傅里葉變換有哪些有用的性質(zhì)。這些性質(zhì)用傅氏變換的定義式即可證明，教科書上很容易找到。我會(huì)換一種方式，用盡可能直觀、接近本質(zhì)的方式來(lái)理解這些性質(zhì)。

1. 線性性

設(shè)

， 為常數(shù)，則

傅里葉變換的本質(zhì)，就是用各種頻率不同的周期函數(shù)（頻域）線性表示原始函數(shù)（時(shí)域），必然具有線性性。這與積分的線性性是一致的。

線性性質(zhì)可用圖1來(lái)概括。先變換再求和，與先求和再變換，結(jié)果是一致的。

圖1 線性性質(zhì)概括

2. 位移性

設(shè)

， 為常數(shù)，則

把時(shí)域的函數(shù)向右平移了

，相當(dāng)于時(shí)間起點(diǎn)改到了 ，那么頻域的相位也要相應(yīng)地退回。分量 在時(shí)刻 的值 的值作為起點(diǎn)，因此 乘上了該量。

把頻域的函數(shù)向右平移了

，相當(dāng)于把每個(gè)分量 的頻率都減慢為了 ，那么時(shí)間自然要加快以彌補(bǔ)這個(gè)變化。對(duì)分量 補(bǔ)乘上 ，就能還原回原來(lái)的頻率，因此 乘上了該量。

3. 放縮/相似性

設(shè)

， 為非零常實(shí)數(shù)，則

取

，那么 . 取 ，則 ，顯然是將每個(gè)分量的頻率都加快為了原來(lái)的兩倍。為了抵消這個(gè)變化，讓 除以2，但同時(shí)分量的系數(shù)也成比例變了，如圖2所示：

圖2 系數(shù)成比例變化

除以 ，會(huì)讓分量 變?yōu)? 的同時(shí)，其系數(shù)也變?yōu)榱? 倍。因此，最終 要再除以 .

對(duì)于上述例子，利用

函數(shù)的放縮性，易得

4. 對(duì)稱性

設(shè)

，則

對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)的典型分量

做兩次變換觀察一下，如圖3所示：

圖3 e^(it)做兩次傅氏變換

首先對(duì)

進(jìn)行各種頻率的反向旋轉(zhuǎn)， 時(shí)平均為0， 時(shí)疊加出無(wú)窮大，得到 ，這是第一次變換。再對(duì) 做第二次變換，變換的結(jié)果是把每個(gè)頻率的起點(diǎn)都改為 ，最終 時(shí)平均為0， 時(shí)疊加出無(wú)窮大，正好時(shí)域上構(gòu)成一沖激強(qiáng)度為 的沖激函數(shù)。頻域脈沖對(duì)應(yīng)時(shí)域圓周，時(shí)域脈沖對(duì)應(yīng)頻域圓周，這構(gòu)成了對(duì)稱性。

實(shí)際上，函數(shù)

既可以用一系列圓周函數(shù) 線性表示為 ，又可以用一系列沖激函數(shù) 線性表示為 ，這是兩種非常重要的思想。傅氏變換會(huì)把圓周 變?yōu)槊}沖，脈沖翻轉(zhuǎn)后變?yōu)閳A周，因此具有 的關(guān)系。大致示意圖如圖4所示：

圖4 對(duì)稱性示意圖

5. 微分關(guān)系

設(shè)

，只要相關(guān)的導(dǎo)數(shù)存在，則

對(duì)于復(fù)值函數(shù)

， 的含義是復(fù)值速度，其中實(shí)部表示沿實(shí)軸方向的速度，虛部表示沿虛軸方向的速度。每次對(duì) 求導(dǎo)會(huì)讓起點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 并伸縮至 倍，但不改變頻率，如圖5所示：

圖5 對(duì)e^(iωt)求導(dǎo)

根據(jù)求導(dǎo)公式也容易直接寫出

對(duì)t的n階導(dǎo)數(shù)是 .

因此

對(duì)t求n階導(dǎo)時(shí)，頻譜只需要簡(jiǎn)單地把每個(gè)分量 乘上 ，即 乘上 .

對(duì)

求導(dǎo)時(shí)，考慮將 分解為沖激函數(shù)，且時(shí)域的 分量對(duì)應(yīng)頻域的 分量。 對(duì) 求n階導(dǎo)數(shù)得到 ，那么 的每個(gè)分量 也只需要簡(jiǎn)單地乘上 即可。 只會(huì)在 時(shí)影響到整體的值，故求和之后得到的是 .

6. 積分關(guān)系

設(shè)

，則

這與微分關(guān)系是一致的，取

即可。

由于

，這個(gè)任意常數(shù) 會(huì)在頻譜中帶來(lái)一個(gè)沖激函數(shù) ，而 時(shí) 無(wú)意義，因此這個(gè)公式不考慮 的情況。

7. 帕薩瓦爾（Parseval）定理

設(shè)

，則

這個(gè)定理充分體現(xiàn)了

這些基底在 內(nèi)積下的正交性。 中的一個(gè)分量 分別乘以 中的每一個(gè)分量 并對(duì) 做積分，在 時(shí)積分結(jié)果為0，在 時(shí)積分結(jié)果為1. 也就是說(shuō)，兩個(gè)函數(shù)只有頻率相同的分量的系數(shù)才會(huì)相乘。

中分量 的系數(shù)近似為 ，同理 中 的系數(shù)近似為 ，那么兩者乘積的 的系數(shù)即可近似為 . 如圖6所示：

圖6 對(duì)應(yīng)點(diǎn)系數(shù)相乘

因?yàn)?

算的是 ，那么 中 分量算出的是 ，最后把所有 求和并取極限即可得到帕薩瓦爾定理。

特別地，若取

，則可得到

8. 卷積與卷積定理

8.1 卷積

沖激函數(shù)的篩選性質(zhì)

非常重要，我們稱這個(gè)運(yùn)算是 與 的卷積。一般地，定義 與 的卷積（convolution）為

視第二個(gè)函數(shù)為沖激函數(shù)的線性組合，即

，那么它的 分量的系數(shù)可近似為 ，而 與 卷積得到 ，相當(dāng)于把 向右平移了 個(gè)單位。因此，卷積的含義是： 的起點(diǎn)平移到 處，就把函數(shù)值放縮為原來(lái)的 倍。對(duì)于任意的 ，把所有這些平移且放縮過(guò)的 函數(shù)疊加的結(jié)果。如圖7所示：

圖7 卷積的示意圖

概括來(lái)說(shuō)，卷積就是

的滑動(dòng)加權(quán)和，權(quán)重由 決定。

同時(shí)，如果只考慮

的一個(gè)沖激函數(shù)分量，則在卷積中會(huì)生成一個(gè)滑動(dòng)加權(quán)的 ，且由 控制。也就是說(shuō)，卷積具有交換律。如圖8所示：

圖8 卷積交換律的示意圖

實(shí)際上，卷積還滿足結(jié)合律和分配律，這里不再詳述。

8.2 時(shí)域卷積定理

若

，則

按照8.1節(jié)對(duì)卷積的理解，將

拆成各種 分量，且系數(shù)近似為 . 那么 對(duì)于一個(gè)分量的卷積，相當(dāng)于平移后加權(quán)。根據(jù)第2節(jié)的位移性，易得頻譜函數(shù)變?yōu)? ，對(duì) 求和就得到了 .

8.3 頻域卷積定理

若

，則

這里我們把

拆成各種 的分量，且系數(shù)近似為 . 那么 對(duì)于一個(gè)分量的卷積，也是平移后加權(quán)。根據(jù)第2節(jié)的位移性，易得時(shí)域函數(shù)變?yōu)? ，對(duì) 求和就得到了 .

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的傅里叶变换性质证明卷积_积分变换（3）——傅里叶变换的性质的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。