學習階段：大學數學，積分變換。

前置知識：微積分、復變函數、傅里葉變換

tetradecane：積分變換（2）——連續傅里葉變換?zhuanlan.zhihu.com

我們總結一下傅里葉變換有哪些有用的性質。這些性質用傅氏變換的定義式即可證明，教科書上很容易找到。我會換一種方式，用盡可能直觀、接近本質的方式來理解這些性質。

1. 線性性

設

， 為常數，則

傅里葉變換的本質，就是用各種頻率不同的周期函數（頻域）線性表示原始函數（時域），必然具有線性性。這與積分的線性性是一致的。

線性性質可用圖1來概括。先變換再求和，與先求和再變換，結果是一致的。

圖1 線性性質概括

2. 位移性

設

， 為常數，則

把時域的函數向右平移了

，相當于時間起點改到了 ，那么頻域的相位也要相應地退回。分量 在時刻 的值 的值作為起點，因此 乘上了該量。

把頻域的函數向右平移了

，相當于把每個分量 的頻率都減慢為了 ，那么時間自然要加快以彌補這個變化。對分量 補乘上 ，就能還原回原來的頻率，因此 乘上了該量。

3. 放縮/相似性

設

， 為非零常實數，則

取

，那么 . 取 ，則 ，顯然是將每個分量的頻率都加快為了原來的兩倍。為了抵消這個變化，讓 除以2，但同時分量的系數也成比例變了，如圖2所示：

圖2 系數成比例變化

除以 ，會讓分量 變為 的同時，其系數也變為了 倍。因此，最終 要再除以 .

對于上述例子，利用

函數的放縮性，易得

4. 對稱性

設

，則

對圓周運動的典型分量

做兩次變換觀察一下，如圖3所示：

圖3 e^(it)做兩次傅氏變換

首先對

進行各種頻率的反向旋轉， 時平均為0， 時疊加出無窮大，得到 ，這是第一次變換。再對 做第二次變換，變換的結果是把每個頻率的起點都改為 ，最終 時平均為0， 時疊加出無窮大，正好時域上構成一沖激強度為 的沖激函數。頻域脈沖對應時域圓周，時域脈沖對應頻域圓周，這構成了對稱性。

實際上，函數

既可以用一系列圓周函數 線性表示為 ，又可以用一系列沖激函數 線性表示為 ，這是兩種非常重要的思想。傅氏變換會把圓周 變為脈沖，脈沖翻轉后變為圓周，因此具有 的關系。大致示意圖如圖4所示：

圖4 對稱性示意圖

5. 微分關系

設

，只要相關的導數存在，則

對于復值函數

， 的含義是復值速度，其中實部表示沿實軸方向的速度，虛部表示沿虛軸方向的速度。每次對 求導會讓起點逆時針旋轉 并伸縮至 倍，但不改變頻率，如圖5所示：

圖5 對e^(iωt)求導

根據求導公式也容易直接寫出

對t的n階導數是 .

因此

對t求n階導時，頻譜只需要簡單地把每個分量 乘上 ，即 乘上 .

對

求導時，考慮將 分解為沖激函數，且時域的 分量對應頻域的 分量。 對 求n階導數得到 ，那么 的每個分量 也只需要簡單地乘上 即可。 只會在 時影響到整體的值，故求和之后得到的是 .

6. 積分關系

設

，則

這與微分關系是一致的，取

即可。

由于

，這個任意常數 會在頻譜中帶來一個沖激函數 ，而 時 無意義，因此這個公式不考慮 的情況。

7. 帕薩瓦爾（Parseval）定理

設

，則

這個定理充分體現了

這些基底在 內積下的正交性。 中的一個分量 分別乘以 中的每一個分量 并對 做積分，在 時積分結果為0，在 時積分結果為1. 也就是說，兩個函數只有頻率相同的分量的系數才會相乘。

中分量 的系數近似為 ，同理 中 的系數近似為 ，那么兩者乘積的 的系數即可近似為 . 如圖6所示：

圖6 對應點系數相乘

因為

算的是 ，那么 中 分量算出的是 ，最后把所有 求和并取極限即可得到帕薩瓦爾定理。

特別地，若取

，則可得到

8. 卷積與卷積定理

8.1 卷積

沖激函數的篩選性質

非常重要，我們稱這個運算是 與 的卷積。一般地，定義 與 的卷積（convolution）為

視第二個函數為沖激函數的線性組合，即

，那么它的 分量的系數可近似為 ，而 與 卷積得到 ，相當于把 向右平移了 個單位。因此，卷積的含義是： 的起點平移到 處，就把函數值放縮為原來的 倍。對于任意的 ，把所有這些平移且放縮過的 函數疊加的結果。如圖7所示：

圖7 卷積的示意圖

概括來說，卷積就是

的滑動加權和，權重由 決定。

同時，如果只考慮

的一個沖激函數分量，則在卷積中會生成一個滑動加權的 ，且由 控制。也就是說，卷積具有交換律。如圖8所示：

圖8 卷積交換律的示意圖

實際上，卷積還滿足結合律和分配律，這里不再詳述。

8.2 時域卷積定理

若

，則

按照8.1節對卷積的理解，將

拆成各種 分量，且系數近似為 . 那么 對于一個分量的卷積，相當于平移后加權。根據第2節的位移性，易得頻譜函數變為 ，對 求和就得到了 .

8.3 頻域卷積定理

若

，則

這里我們把

拆成各種 的分量，且系數近似為 . 那么 對于一個分量的卷積，也是平移后加權。根據第2節的位移性，易得時域函數變為 ，對 求和就得到了 .

總結

以上是生活随笔為你收集整理的傅里叶变换性质证明卷积_积分变换（3）——傅里叶变换的性质的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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