正態(tài)分布（德語：Normalverteilung；英語：normal distribution）又名高斯分布（德語：Gau?-Verteilung；英語：Gaussian distribution, 以德國數(shù)學(xué)家卡爾·弗里德里?！じ咚沟男展诿?#xff09;。想必這個(gè)大名鼎鼎的分布，跟高斯這個(gè)名字一樣，如雷貫耳，只要稍有數(shù)學(xué)常識，都應(yīng)該不陌生吧，即便你已經(jīng)記不太清楚它的密度函數(shù)具體長什么樣子了，沒關(guān)系，密度函數(shù)長這樣：

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“對對對”，想必你立刻就會(huì)說：“我就記得長這個(gè)樣子！”

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確實(shí)，正態(tài)分布太有名了，也確實(shí)有用的很，本質(zhì)上講正態(tài)分布是整個(gè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的核心，講的廣一點(diǎn)呢，也是現(xiàn)代科學(xué)，包括迄今為止被廣泛應(yīng)用在各類工程中的公式，定理，模型的基石。說的徹底一點(diǎn)呢，若是沒有這樣完美的正態(tài)分布，或許說不定這個(gè)世界現(xiàn)在你所看到的美好也就蕩然無存了。

比如，“什么？”，“對，說你的呢，你的Dota中最鐘愛的混沌騎士CK妥妥是沒有了，混沌的世界，電腦真的好難懂啊！”

再比如，“什么？”，“沒錯(cuò)，說的就是你，你的美圖你的PS都沒有了，濾波器都找不到了，你還想要美顏？小心分分鐘變貞子哦！”

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當(dāng)然我還是比較相信，大多數(shù)的你們還是對這個(gè)正態(tài)分布分布的重要是還是略知一二的，不過你們可曾細(xì)細(xì)的了解過正態(tài)分布呢？下面先來看這個(gè)所謂的高斯分布正態(tài)分布的前世今生吧。

正態(tài)分布的前世今生

正態(tài)分布最早是由一個(gè)叫亞伯拉罕·棣莫弗（Abraham de Moivre，簡稱棣莫弗，法語發(fā)音為(IPA)[d? mwav?]）（1667年5月26日－1754年11月27日）的法國人在其對二項(xiàng)分布的研究中提出的。

什么？棣莫弗，這是誰，怎么那么陌生呢？想想你學(xué)過的復(fù)數(shù)，想想三角函數(shù)！哦，好像，好像記得上學(xué)的時(shí)候有學(xué)過什么棣莫弗公式，貌似它把三角函數(shù)跟復(fù)數(shù)聯(lián)系起來了。

對，就是這個(gè)棣莫弗。準(zhǔn)確的來講，正是他給出了復(fù)數(shù)的三角表達(dá)式，這個(gè)東西的對后世基于復(fù)變函數(shù)的各種學(xué)科的發(fā)展來說，這個(gè)意義那大大的！

當(dāng)然或許你關(guān)注的點(diǎn)并不是，這個(gè)叫棣莫弗的人，而是二項(xiàng)分布，正在腦海中苦苦搜尋什么是二項(xiàng)分布。想想那個(gè)無聊的投硬幣游戲，想想那個(gè)一次兩次的數(shù)數(shù)經(jīng)歷。對，就是這個(gè)n次重復(fù)投硬幣游戲里面傻傻地?cái)?shù)出現(xiàn)k次正面的，這個(gè)概率分布就是服從所謂的二項(xiàng)分布[2]。

當(dāng)然這里還有有趣的二項(xiàng)式系數(shù)的，國人也叫楊輝三角的東西哦！

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東西好像扯的有點(diǎn)遠(yuǎn)了，回來回來！回到正題，這個(gè)所謂的二項(xiàng)分布跟正態(tài)分布有什么關(guān)系呢？這就是棣莫弗這人的主要成就之一啦，他1734年發(fā)表的一篇關(guān)于二項(xiàng)分布文章中提出的，當(dāng)二項(xiàng)隨機(jī)變數(shù)的位置參數(shù)n很大及形狀參數(shù)p為1/2時(shí)，則所推導(dǎo)出二項(xiàng)分布的近似分布函數(shù)就是正態(tài)分布。當(dāng)然這個(gè)其實(shí)就是個(gè)極限問題，有興趣之后我們可以具體討論。但是這個(gè)結(jié)果確實(shí)是我們直觀上可以相像的，當(dāng)然你還是無法想像，那我們來看看這個(gè)計(jì)算機(jī)的模擬試驗(yàn)。

clc clear close allR3 = binornd(100,0.5,100,1); #第一二個(gè)參數(shù)是二項(xiàng)分布的參數(shù)，用拋硬幣來理解，第一個(gè)參數(shù)是拋硬幣 #的次數(shù)，第二個(gè)參數(shù)是概率，第三個(gè)和第四個(gè)參數(shù)是代表樣本的維度，每個(gè)樣本都是基于二項(xiàng)分布產(chǎn)生的，## #共產(chǎn)生了100*1個(gè)樣本。即重復(fù)100次相同實(shí)驗(yàn)，而每次實(shí)驗(yàn)是將硬幣丟100次，樣本值是1出現(xiàn)的次數(shù)；即總 #共仍了100*100次硬幣 R4 = binornd(1000,0.5,1000,1); R5 = binornd(10000,0.5,10000,1);figure subplot(1,3,1) histfit(R3) title('N = 100') subplot(1,3,2) histfit(R4) title('N = 1000') subplot(1,3,3) histfit(R5) title('N = 10000')

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我們的R3,R4,R5分別是從N=100，1000，10000次二項(xiàng)分布中生成的，清晰的看到隨著N的增加，這個(gè)分布越來越接近我們這個(gè)具有代表性的的這個(gè)正態(tài)分布了。

事實(shí)上，這個(gè)東西的嚴(yán)格的講還有特別厲害的名字，中心極限定理，?wiki上有一段有趣的歷史。Tijms (2004, p.169) 寫到：

中心極限定理有著有趣的歷史。這個(gè)定理的第一版被法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，他在1733年發(fā)表的卓越論文中使用正態(tài)分布去估計(jì)大量拋擲硬幣出現(xiàn)正面次數(shù)的分布。這個(gè)超越時(shí)代的成果險(xiǎn)些被歷史遺忘，所幸著名法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯在1812年發(fā)表的巨著?Théorie Analytique des Probabilités中拯救了這個(gè)默默無名的理論。

拉普拉斯擴(kuò)展了棣莫弗的理論，指出二項(xiàng)分布可用正態(tài)分布逼近。但同棣莫弗一樣，拉普拉斯的發(fā)現(xiàn)在當(dāng)時(shí)并未引起很大反響。直到十九世紀(jì)末中心極限定理的重要性才被世人所知。1901年，俄國數(shù)學(xué)家里雅普諾夫用更普通的隨機(jī)變量定義中心極限定理并在數(shù)學(xué)上進(jìn)行了精確的證明。如今，中心極限定理被認(rèn)為是(非正式地)概率論中的首席定理。

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然而，正態(tài)分布真正走入人們視線的并不是由這個(gè)無聊的投硬幣試驗(yàn)所得的二項(xiàng)分布的逼近，而是實(shí)實(shí)在在的工程誤差分析中應(yīng)用。據(jù)說wiki說，拉普拉斯在誤差分析試驗(yàn)中使用了正態(tài)分布。勒讓德于1805年引入最小二乘法這一重要方法；而高斯則宣稱他早在1794年就使用了該方法，并通過假設(shè)誤差服從正態(tài)分布給出了嚴(yán)格的證明。（看來大牛們?yōu)榱税鏅?quán)也是的撕厲害，不過事實(shí)似乎表明，最后還是高斯贏了，畢竟現(xiàn)在也叫高斯分布）

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第一張圖是據(jù)說被誤用了200多年的勒讓德的肖像，而第二張圖才是真身，哎，滿滿的怒氣，似乎在嘲笑也在責(zé)怪世人的愚昧，不光研究結(jié)果被搶先一步，連肖像也能用錯(cuò)，這能不憤怒嗎？至于，第三張毫無疑問就是大名鼎鼎的數(shù)學(xué)王子高斯啦！

之前我們說到高斯對測量誤差研究中發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布，并且這項(xiàng)研究也成為了當(dāng)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的中重要的思想--最大似然發(fā)的源頭。下面我們來仔細(xì)看看，他是如何導(dǎo)出這個(gè)完美的分布的。

首先我們要解釋幾個(gè)概念，第一個(gè)是似然（Likelihood）。什么是似然，簡單通俗的來講就是，一系列的概率密度函數(shù)的乘積，說白了也就是還是一種特別的復(fù)合的“概率”。比如對于正態(tài)分布，如果有獨(dú)立同分布的觀察值,則其的似然為：

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與50位技術(shù)專家面對面20年技術(shù)見證，附贈(zèng)技術(shù)全景圖

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的从高斯分布的导出讲起——为什么概率密度函数长成这个样子？的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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