小學數學告訴我們，要檢驗一個數能否 3 整除，我們只需要把這個數的各位數字相加，看這個和能否被 3 整除就可以了。

為什么呢？

小學數學背后的奇妙環論

把整數映射到模 3 剩余類的函數

構成了整數環

到 環的環同態。

環同態告訴我們，“在整數中做加法和乘法，再映射到右邊” 等價于 “先把各個數映射到右邊，再做加法和乘法”。

這個同態的精妙之處在于：做后者的計算，要比前者簡單許多。我們剔除了那些拖累計算的冗余信息，保留住了剛剛需要的那些。

舉個例子

我們要驗證 321 能否被 3 整除，就是檢驗 321 是否在 0 這個模 3 等價類之中，即

是否成立。

321 就是我們在整數環

中我們做如下加法乘法的結果，

而同態告訴我們，先做加法乘法再

，得到的結果和先 再加法乘法等價，于是，

其中的精妙之處在于

，于是同態之后冪全部變成了 .

如果

，那么在 進制下，數字各位之和能被 整除的數也能被 整除。

同理可得

, 十進制下各位之和能被 整除的數能被 整除。

，七進制下各位之和能被 整除的數能被 整除。

， 十六進制下各位之和能被 整除的數能被 整除，各位之和能被 整除的數能被 整除。

另外，小學數學還告訴我們：

一個數是否能被 2 整除，只需看個位數就行了。

因為，在上面的環同態中，

，而 ，從而十位、百位、千位以上的數字神奇地消失了，只留下了個位！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的为什么剩余数不能相加_为什么各位之和是 3 的倍数的数能被 3 整除？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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