車輛路徑規(guī)劃問題的三個(gè)MIP模型。從直觀的模型推導(dǎo)出高效的模型。

我們用最最標(biāo)準(zhǔn)的Capacitated VRP為例：

CVRP問題描述：給定一張完全有向圖：

, 其中 是客戶的集合, 分別是起點(diǎn)和終點(diǎn)， 是弧的集合。 給定一個(gè)車隊(duì)集合 ，每輛車的型號(hào)完全一樣且能夠裝載貨物的容量為 。 是對(duì)應(yīng)所需要的貨物的數(shù)量。每個(gè)點(diǎn) 有配送需求 ，起點(diǎn)和終點(diǎn)的需求為0。目標(biāo)是：找到一個(gè)車輛配送方案，所有客戶的貨物需求滿足，且最小化配送費(fèi)用。配送費(fèi)用實(shí)際就是車輛經(jīng)過每條弧所產(chǎn)生的費(fèi)用 。

假設(shè)：1）圖

滿足三角形兩邊之和大于第三邊；2） 每個(gè)客戶只能被一輛車配送；3）每輛車從倉庫出發(fā)，經(jīng)過若干客戶，回到倉庫后不能再被使用。

這個(gè)組合優(yōu)化問題暗含兩個(gè)決策點(diǎn)：1） 哪輛車配送哪些客戶；2）對(duì)每輛車而言，以什么順序配送。所以，我們定義一個(gè)決策變量

: 車輛 是否經(jīng)過弧 ，如果經(jīng)過則為1，否則為0。確定了該決策變量，上述決策也就確定了。下面我們給出整數(shù)規(guī)劃模型：

代表的是所有從點(diǎn) 出發(fā)的弧；

代表的是所有進(jìn)入點(diǎn) 的弧；

( 是一個(gè)點(diǎn)的集合)

(1.2)表示每個(gè)客戶都必須服務(wù)到位;(1.3)就是進(jìn)入的流等于出去的流; (1.4)和(1.5)就是每輛車必須從o出發(fā)，回到d，不能停在客戶家不走了;(1.6)不能超載;(1.7)子回路消除。也就是避免出現(xiàn)，一輛車在幾個(gè)客戶之間無限打圈; (1.8)整數(shù)約束。

這個(gè)模型有個(gè)很不好的地方就是變量是三個(gè)索引，問題規(guī)模大了以后，變量瞬間就會(huì)變得很多。而且車輛都是相同的，整個(gè)搜索空間會(huì)有很強(qiáng)的對(duì)稱性，這會(huì)降低B&B分支的效率。最后一點(diǎn)是，子回路約束的數(shù)量是指數(shù)級(jí)，需要用行生成解LP松弛問題。所以我們改一改：

代表弧 被經(jīng)過的次數(shù)，因?yàn)榍懊嬲f的假設(shè)1），所以所有的弧最多只會(huì)被經(jīng)過1次。

嗯，這樣看起來，干凈了一些。其中(2.6)把子回路消除約束和滿足容量的約束合并了起來。這個(gè)模型的決策變量只有兩個(gè)index，消除了車輛帶來的對(duì)稱性，唯一不太好的地方就是(2.6)需要引入cut generation。

除了第二個(gè)模型以外，還可以對(duì)第一個(gè)模型做D-W[3]分解得到Set Partitioning模型。因?yàn)镈-W的精髓就是“挑選合適的約束進(jìn)入子問題”，所以先說哪些約束應(yīng)該被選中。

觀察(1.3-1.5以及1.7)，對(duì)于某個(gè)

而言即：

四個(gè)約束左邊的系數(shù)矩陣滿足Total Unimodular。這意味著這四個(gè)約束所構(gòu)造的凸多面體的任意一個(gè)極點(diǎn)就是一個(gè)整數(shù)解[2]，也就是一條出發(fā)于o終止于d且沒有子回路的路徑(如果沒有1.7的話，可能會(huì)出現(xiàn)一條從o至d的路徑加上一條子回路)。我們把這四個(gè)約束放入子問題，并且記這四個(gè)約束組成的凸多面體為P1。注意到(1.6)沒有被放進(jìn)來，我們現(xiàn)在考慮(1.6)。如果把它加入P1，那么所有超載路徑會(huì)被去掉，反映在幾何上就是有部分極點(diǎn)被“砍去”，這時(shí)候我們得到凸多面體P2。按照D-W分解，需要用P2中所有的極點(diǎn)來表示主問題中的變量。然而，因?yàn)?1.6)的原因，突然多出了一些“非路徑”的極點(diǎn)。這些極點(diǎn)是不需要考慮的。

兩條紅線代表(1.6)砍去的極點(diǎn)

因?yàn)橹鲉栴}的

是個(gè)整數(shù)變量，表示它只需要剩下的其余所有路徑極點(diǎn)即可。我們對(duì)主問題經(jīng)過如下一頓D-W分解標(biāo)準(zhǔn)操作：

其中:

是一個(gè)已知量，代表車 的路徑 中是否經(jīng)過弧，經(jīng)過為1，否則為0。

：D-W分解中的常見變量。

：車 的所有路徑。

進(jìn)一步對(duì)約束分析：

因?yàn)?

的值是binary的，然后 也是binary的，所以有：如果 (3.5)不成立，(3.4)肯定也不成立。由于逆否命題與原命題等價(jià)，所以如果(3.4)成立，那么(3.5)也一定成立。那么(3.5)可以刪去。另外，經(jīng)過觀察得知，即使 ， 依然能被全部表示（因?yàn)樗緛砭痛砺窂铰?#xff09;。而且在此條件下，(3.4)自然而然就成立了。

還有，由于車輛是一致的，所以有

。根據(jù)[4]中的"commodity aggregation"，我們進(jìn)一步可以去掉所有的 以及上標(biāo) 。于是，得到最后的主問題，也就是車輛路徑規(guī)劃的第三種模型了：

其中：

所有合法路徑。

如果弧在路徑p中被使用則為1，否則為0。

如果點(diǎn)i在路徑p中則為1，否則為0。

。

第三個(gè)模型的優(yōu)勢(shì)：1）提供了很好的低界 ；2）能夠處理路徑相關(guān)的非線性成本或者約束。3) 減少相同資源帶來的對(duì)稱性問題。第一點(diǎn)和第三點(diǎn)的好處對(duì)于分支定界算法不言而喻，而第二點(diǎn)在我看來極大地提升了列生成的工程價(jià)值。

但是這個(gè)模型也有劣勢(shì)。子問題中包含了(1.7)，所以子問題凸多面體P2是有指數(shù)級(jí)的極點(diǎn)。那么對(duì)主問題來說，我們只能先選擇一部分極點(diǎn)，然后慢慢生成剩余的。這也就引入了列生成。列生成和車輛路徑規(guī)劃（Vehicle Routing Problem, VRP）大概自從這篇文章[1]開始，相愛相殺了快30年。這30年里，幾乎所有高效的VRP精確算法都離不開列生成技術(shù)。子問題自身也是一個(gè)NP難問題，屬于Elementary shortest path problem with resource constraint （ESPPRC）。

所以在實(shí)際問題中，會(huì)采用一些啟發(fā)式算法先產(chǎn)生很多高質(zhì)量的路徑，然后導(dǎo)入第三個(gè)模型里求解來從這些高質(zhì)量的路徑中選擇出比較好的組合。

References:

[1] Agarwal Y, Mathur K, Salkin HM. A set‐partitioning‐based exact algorithm for the vehicle routing problem. Networks. 1989 Dec;19(7):731-49.

[2] Schrijver, A. (1998). Theory of linear and integer programming. John Wiley & Sons.

[3] Bertsimas, D., & Tsitsiklis, J. N. (1997). Introduction to linear optimization (Vol. 6, pp. 479-530). Belmont, MA: Athena Scientific.

[4] Desaulniers, G., Desrosiers, J., Solomon, M. M., Soumis, F., & Villeneuve, D. (1998). A unified framework for deterministic time constrained vehicle routing and crew scheduling problems. In Fleet management and logistics (pp. 57-93). Springer, Boston, MA.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的未能找到路径的一部分_车辆路径规划三种MIP模型的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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