1.\(\phi * I=id\)

可以表示成\(n=\Sigma_{d\mid n}\phi(d)\)

對于證明這類的式子，一般有以下個步驟

1.證明\(f(1)\)

2.證明\(f(p)\)

3.證明\(f(p^k)\)

4.證明\(f(p_1^{k1}*p_2^{k2})\)

5.證明普遍性

以歐拉函數的這一性質為例

1.\(\phi(1)=1\),直接由定義得出

2.\(\phi(1)=1,\phi(p)=p-1,\phi(1)+phi(p)=p\)

3.\(\Sigma^k_{i=0}\phi(p^i)=1+\Sigma^k_{i=1}\phi(p^i)=1+\Sigma^k_{i=1}p^{i-1}*(p-1)=1+(p-1)*(p^k-1)/(p-1)=p^k\)

4.\(p_1^{k1}*p_2^{k2}=\Sigma_{d1\mid p1^{k1}}\phi(d1)*\Sigma_{d2\mid p2^{k2}}\phi(d2)=\Sigma_{d\mid p_1^{k1}*p_2^{k2}}\phi(d)\)

5.對于普遍的情況，依次拆成2個數利用性質4即可得出

即\(\phi * I=id\)

2.\(\mu *I=\epsilon\)

這個性質并沒有上面的復雜，只需要3個步驟即可證出

1.\(\mu(1)=1,\epsilon(1)=1\),由定義得

2.對于一個擁有重復質因子數的數，\(\mu(n)=0,\epsilon(n)=0\)

3.對于\(n=\Pi_{i=1}^kp_i\),含有i項質數的項數為n-i+1,由組合數的性質(二項式定理)可得，奇項數等于偶項數，\(\mu(n)=0\)

即\(\mu *I=\epsilon\)

3.\(\mu *id=\phi\)

由性質1，2可推出

4.在莫比烏斯反演中，有兩條核心卷積式

1.\(F=I*f\)

2.\(f=\mu *F\)

2式可由1式與性質2推得，用卷積來推要比直接拆開方便理解很多

?——2020.5.4

原文：https://www.cnblogs.com/nebulyu/p/12827599.html

總結

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