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下面開始今天的學習～

本文向大家介紹了回溯算法的基礎知識，以幫助大家更好地理解回溯算法。

回溯搜索算法簡介

維基百科中關于回溯算法的介紹是：

回溯算法(backtracking)是暴力搜索算法的一種。

這句話向我們揭示了回溯算法的用途：搜索，因此回溯算法也被稱為回溯搜索算法。

但它與 “二分查找” 、 “線性查找” 等 “查找問題” 不同的是，“搜索問題” 完成一件事情有可能多種方法，而每一種方法又有多個步驟，回溯算法就是在不斷嘗試，以得到待求問題的全部的解。

正是由于回溯算法具有“強大的”暴力搜索的能力，它被應用于一些游戲問題，例如：N 皇后、解數(shù)獨、祖瑪游戲、24 點游戲、走迷宮、生成迷宮。

許多復雜的、規(guī)模較大的問題都可以使用回溯搜索算法得到所有可行解，進而得到最優(yōu)解，因此回溯算法有“通用解題方法”的美稱，回溯算法也是經(jīng)典的人工智能的基礎算法。

本文只涉及回溯算法的基本知識，不會涉及到很高級的應用。

從全排列問題開始

我們從一個非常經(jīng)典的問題開始講解回溯算法，這道題是「力扣」上第 46 號問題：“全排列”。

題目描述

給定一個沒有重復數(shù)字的序列，返回其所有可能的全排列。

示例:

輸入:?[1,?2,?3]
輸出:?[
??????[1,?2,?3],?
??????[1,?3,?2],?
??????[2,?1,?3],?
??????[2,?3,?1],?
??????[3,?1,?2],?
??????[3,?2,?1]
??????]

題目解析

這道題要求我們返回一個沒有重復數(shù)字的序列的所有可能的排列。

以題目示例為例，如果讓我們手動去寫，相信大家一定都會。

在動手嘗試寫出幾個全排列以后，會慢慢找到規(guī)律：

1、先下以 1 開頭的全排列，它們是：[1, 2, 3], [1, 3, 2]；
2、再寫下以 2 開頭的全排列，它們是：[2, 1, 3], [2, 3, 1]；
3、最后寫下以 3 開頭的全排列，它們是：[3, 1, 2], [3, 2, 1]。

這是一個非常典型的搜索問題，它的特點是：1、有若干個解；2、每一個解的求解過程可以分為若干個步驟，得到所有解是一個不斷嘗試的過程。

具體說，我們的思路是：按順序枚舉每一位可能出現(xiàn)的數(shù)字，之前已經(jīng)出現(xiàn)的數(shù)字在接下來要選擇的數(shù)字中不能出現(xiàn)。

按照這種思路就能夠做到不重不漏，把所有的全排列都枚舉出來。

這樣的思路可以用一個樹形結構表示。

看到這里的朋友，不妨自己先嘗試畫一下“全排列”問題的樹形結構。

畫出樹形結構

使用編程的方法得到全排列，就是在這樣的一個樹形結構中進行搜索，從樹的根結點到葉子結點的路徑 path (下文也會用到的 path 就是此處的意思，就不再重復說明) 就是題目要求的一個全排列。

我們只需要執(zhí)行一次深度優(yōu)先遍歷(深度優(yōu)先搜索)，就能夠得到所有的葉子結點。

相信提到深度優(yōu)先搜索，不少朋友會想到樹和圖問題中另一個小伙伴的名字，它就是廣度優(yōu)先遍歷(廣度優(yōu)先搜索)。

那么廣度優(yōu)先搜索是否可以應用在這道問題中呢？

既然是搜索，廣度優(yōu)先搜索當然可以用于搜索。這個問題大家也不妨思考一下，全排列問題，既然用廣搜可以，為什么它是深搜的經(jīng)典問題。

或許我們能想到一塊去。

理解為什么是深度優(yōu)先遍歷，和回溯又有什么關系

下面我們解釋一下上面的樹形結構，請大家從深搜在這棵樹上走過的路徑來理解以下的幾點說明：

1、每一個結點表示了“全排列”問題求解的不同階段，這些階段通過變量的“不同的值”體現(xiàn)，這些變量的不同的值，稱之為“狀態(tài)”；

2、深度優(yōu)先遍歷由于有“回頭”的過程，在“回頭”以后，狀態(tài)變量需要設置成為和先前一樣。在回到上一層結點的過程中，需要撤銷上一次選擇，這個操作也稱之為“狀態(tài)重置”，“狀態(tài)重置”就是“回溯”的本意；

3、使用深度優(yōu)先遍歷編寫代碼，可以直接借助系統(tǒng)棧空間，為我們保存所需要的狀態(tài)變量。在編碼中需要注意：遍歷到相應的結點的時候，狀態(tài)變量的值是必須是正確的。此處我們來認識 path 變量作為狀態(tài)變量，它在深度優(yōu)先遍歷中的變化：往下走一層的時候，path 變量在尾部追加一個數(shù)字，而往回走的時候，需要撤銷上一次的選擇，這一操作也是在 path 的尾部去掉一個數(shù)字，因此 path 變量是一個棧。

下面我們解釋如何編碼：

1、首先這棵樹除了葉子結點以外，每一個結點做的事情其實是一樣的，即在已經(jīng)選了一些數(shù)的前提下，需要在剩下還沒有選擇的數(shù)中按照順序依次選擇一個數(shù)，這顯然是一個遞歸結構；

2、遞歸的終止條件是，數(shù)字的個數(shù)已經(jīng)選夠了，因此我們需要一個變量來表示當前已經(jīng)選了幾個數(shù)字，即當前遞歸到第幾層，我們把這個變量叫做 depth；

3、這些結點實際上表示了搜索全排列問題的不同階段，為了區(qū)分這些不同階段，我們就需要一些變量來記錄為了得到一個全排列，程序進行到哪一步，在這里我們需要兩個變量：

(1)已經(jīng)選了哪些數(shù)，到葉子結點時候，這些已經(jīng)選擇的數(shù)就構成了一個全排列，path 就是這樣的變量；
(2)一個布爾數(shù)組 used，初始化的時候都為 false，表示這些數(shù)還沒有被選擇，當我們選定一個數(shù)的時候，就將這個數(shù)組的相應位置設置為 true ，這樣在考慮下一個位置的時候，就能夠以 O(1) 的時間復雜度判斷這個數(shù)是否被選擇過，這是一種“以空間換時間”的思想。

這兩個變量稱之為“狀態(tài)變量”，它們?表示了我們在求解一個問題的時候所處的階段?。

4、在非葉子結點處，產(chǎn)生不同的分支，這一操作的語義是：在還未選擇的數(shù)中依次選擇一個元素作為下一個位置的元素，這顯然得通過一個循環(huán)實現(xiàn)。

5、另外，由于執(zhí)行的深度優(yōu)先遍歷，從較深層的結點返回到較淺層結點的時候，需要做“狀態(tài)重置”，即“回到過去”、“恢復現(xiàn)場”，我們舉一個例子：請大家看上面的樹形圖想象，代碼是如何從葉子結點 [1, 2, 3] 到葉子結點 [1, 3, 2] 的。深度優(yōu)先遍歷是這樣執(zhí)行的：

• 從 [1, 2, 3] 回到 [1, 2] 的時候，需要撤銷剛剛已經(jīng)選擇的數(shù) 3；

• 由于在上一層只有一個數(shù) 3 能選擇，我們已經(jīng)嘗試過了，因此程序回到再上一層，需要撤銷對 2 的選擇，好讓后面的程序知道，選擇 3 了以后還能夠選擇 2。

希望大家能通過在腦子里實際地像代碼一樣走一遍深度優(yōu)先遍歷的過程，去理解代碼應該怎樣寫。或者直接看后面的代碼，然后去理解代碼為什么要這樣寫。事實上，我是先學習，然后再理解。

參考代碼 1

請讀者注意：這個代碼是 錯誤 的，有一個小坑，希望讀者能自己運行一下測試用例自己發(fā)現(xiàn)原因，然后再閱讀后面的內容。

import?java.util.ArrayList;
import?java.util.List;
public?class?Solution?{
????public?List>?permute(int[]?nums)?{//?首先是特判int?len?=?nums.length;//?使用一個動態(tài)數(shù)組保存所有可能的全排列
????????List>?res?=?new?ArrayList<>();if?(len?==?0)?{return?res;
????????}boolean[]?used?=?new?boolean[len];
????????List?path?=?new?ArrayList<>();
????????dfs(nums,?len,?0,?path,?used,?res);return?res;
????}private?void?dfs(int[]?nums,?int?len,?int?depth,
?????????????????????List?path,?boolean[]?used,
?????????????????????List>?res)?{if?(depth?==?len)?{
????????????res.add(path);return;
????????}for?(int?i?=?0;?i?????????????if?(!used[i])?{
????????????????path.add(nums[i]);
????????????????used[i]?=?true;
????????????????dfs(nums,?len,?depth?+?1,?path,?used,?res);//?注意：這里是狀態(tài)重置，是從深層結點回到淺層結點的過程，代碼在形式上和遞歸之前是對稱的
????????????????used[i]?=?false;
????????????????path.remove(depth);
????????????}
????????}
????}public?static?void?main(String[]?args)?{int[]?nums?=?{1,?2,?3};
????????Solution?solution?=?new?Solution();
????????List>?lists?=?solution.permute(nums);
????????System.out.println(lists);
????}
}

這段代碼在運行以后輸出如下：

[[],?[],?[],?[],?[],?[]]

得到了 6 個空列表的原因出現(xiàn)在遞歸終止條件這里：

if?(depth?==?len)?{
????res.add(path);
????return;
}

解釋：path 這個變量所指向的對象在遞歸的過程中只有一份。在深度優(yōu)先遍歷完成以后，由于最后回到了根結點， path 這個變量為空列表。

依然是去想象深度優(yōu)先遍歷的過程，從而理解為什么會到深搜會到原點以后為空列表，因為一開始就是空列表，深搜的過程轉了一圈，在不斷的選擇和回溯的過程以后，回到原點，依然是空列表。

這里需要說明的一點是：

在 Java 語言中，方法傳遞都是值傳遞。對象類型的變量在傳參的過程中，復制的都是變量的地址。這些地址被添加到 res 變量，但這些地址實際上指向的是同一塊內存的地址，因此我們會看到 6 個空的列表對象。解決這個問題的方法很簡單，在 res.add(path); 這里做一次拷貝即可。

修改的部分：

if?(depth?==?len)?{
????res.add(new?ArrayList<>(path));
????return;
}

此時再提交到「力扣」上就能得到一個 Accept 了。

復雜度分析

復雜度分析：(可以暫時跳過，或者永遠跳過，不是很重要，為了知識完整性寫在這里。)

由于公眾號對數(shù)學公式的排版不太友好，所以這里使用了截圖的形式：(

下面我們對這一版代碼做以下幾個說明：

1、如果在每一個非葉子結點分支的嘗試，我都創(chuàng)建新的變量表示狀態(tài)，那么

• 在回到上一層結點的時候不需要“回溯”；

• 在遞歸終止的時候也不需要做拷貝。

這樣的做法雖然可以得到解，但也會創(chuàng)建很多中間變量，這些中間變量很多時候是我們不需要的，會有一定空間和時間上的消耗。

為了驗證上面的說明，我們寫如下代碼進行實驗：

參考代碼 2

import?java.util.ArrayList;
import?java.util.List;

public?class?Solution?{
????public?List>?permute(int[]?nums)?{//?首先是特判int?len?=?nums.length;//?使用一個動態(tài)數(shù)組保存所有可能的全排列
????????List>?res?=?new?ArrayList<>();if?(len?==?0)?{return?res;
????????}boolean[]?used?=?new?boolean[len];
????????List?path?=?new?ArrayList<>();
????????dfs(nums,?len,?0,?path,?used,?res);return?res;
????}private?void?dfs(int[]?nums,?int?len,?int?depth,
?????????????????????List?path,?boolean[]?used,
?????????????????????List>?res)?{if?(depth?==?len)?{//?3、不用拷貝，因為每一層傳遞下來的?path?變量都是新建的
????????????res.add(path);return;
????????}for?(int?i?=?0;?i?????????????if?(!used[i])?{//?1、每一次嘗試都創(chuàng)建新的變量表示當前的"狀態(tài)"
????????????????List?newPath?=?new?ArrayList<>(path);
????????????????newPath.add(nums[i]);boolean[]?newUsed?=?new?boolean[len];
????????????????System.arraycopy(used,?0,?newUsed,?0,?len);
????????????????newUsed[i]?=?true;
????????????????dfs(nums,?len,?depth?+?1,?newPath,?newUsed,?res);//?2、無需回溯
????????????}
????????}
????}
}

這就好比我們在實驗室里做“對比實驗”，只有每一個步驟的嘗試都都使用同樣的材料，才有可能保證“對比實驗”結果的有效性。
為此我們有兩種做法：

• 每做完一種嘗試，都把實驗材料恢復成做上一個實驗之前的樣子，只有這樣做出的對比才有意義；

• 每一次嘗試都使用同樣的新的材料做實驗。

在生活中做實驗對材料有破壞性，這個過程通常不可逆。

而在計算機的世界里，“恢復現(xiàn)場”和“回到過去”是相對容易的。

在一些字符串的“回溯”問題中，有時不需要回溯的原因是這樣的：字符串變量在拼接的過程中會產(chǎn)生新的對象(針對 Java 和 Python 語言，其它語言我并不清楚)。

如果你使用 Python 語言，會知道有這樣一種語法：[1, 2, 3] + [4] 創(chuàng)建了一個新的列表對象，請看“參考代碼 3”。

參考代碼 3

from?typing?import?List
class?Solution:
????def?permute(self,?nums:?List[int])?->?List[List[int]]:
????????def?dfs(nums,?size,?depth,?path,?state,?res):
????????????if?depth?==?size:
????????????????res.append(path)
????????????????return

????????????for?i?in?range(size):
????????????????if?((state?>>?i)?&?1)?==?0:
????????????????????dfs(nums,?size,?depth?+?1,?path?+?[nums[i]],?state?^?(1?<
????????size?=?len(nums)
????????if?size?==?0:
????????????return?[]

????????state?=?0
????????res?=?[]
????????dfs(nums,?size,?0,?[],?state,?res)
????????return?res

說明：這里的整數(shù) state 代替了布爾數(shù)組 used 的作用。布爾數(shù)組 used 在這題里的作用是判斷某個位置上的元素是否已經(jīng)使用過。

它有兩種等價的替換方式：

(1)位掩碼，即使用一個整數(shù)表示布爾數(shù)組。此時可以將空間復雜度降到 O(1)(不包括 path 變量和 res 變量和遞歸棧空間消耗)，本 Python 代碼正好展示了這樣的寫法；

(2)哈希表，代碼留給讀者完成。

2、(只與 Java 語言相關)ArrayList 是 Java 中的動態(tài)數(shù)組，Java 建議我們如果一開始就知道這個集合里需要保存元素的大小，可以在初始化的時候直接傳入。

在這里，由于我們很清楚全排列的總是就是候選數(shù)組長度的階乘值，因此在 res 變量初始化的時候，最好傳入 len 的階乘，讓 ArrayList 在代碼執(zhí)行的過程中不發(fā)生擴容行為。同理，在 path 變量初始化的時候，最好傳入 len，事實這個路徑變量最長也就到 len。

3、path 變量我們發(fā)現(xiàn)只是對它的末尾位置進行增加和刪除的操作，顯然它是一個棧，因此，使用棧語義會更清晰。

(只與 Java 語言相關)但同時 Stack 這個類的文檔告訴我們，由于一些設計上的問題，建議我們使用：

Deque?stack?=?new?ArrayDeque();

這一點讓我們覺得比較左右為難：Deque 是雙端隊列，它提供了更靈活的接口，但同時破壞了語義，一不小心，如果用錯了接口，就會導致程序錯誤。我采用的做法是接受官方的建議，并且(1)在程序變量命名和使用的接口時讓語義清晰；(2)加上必要的注釋；(3)加強測試。

這里 path 需要表示它是從根結點到葉子結點的路徑，我認為這個語義更重要，因此不改名為 stack。而在末尾添加元素和刪除元素的時候，分別使用 addLast() 和 removeLast() 方法這兩個最直接的方法名強調只在 path 變量的末尾操作。

到此為止，回溯搜索算法的基本思想，除了“剪枝”，我們已經(jīng)介紹完了，下面做一個簡單的總結。

總結

回溯算法就是在一個樹形問題上做一次深度優(yōu)先遍歷，以達到搜索所有可能的解的效果。

為什么使用深度優(yōu)先遍歷？

• 首先是正確性，只有遍歷狀態(tài)空間，才能得到所有符合條件的解；

• 在深度優(yōu)先遍歷的時候，不同狀態(tài)之間的切換很容易，可以再看一下上面有很多箭頭的那張圖，每兩個狀態(tài)之間的差別只有 1 處，因此回退非常方便，這樣全局就使用一份狀態(tài)變量完成搜索；

• 如果每一個狀態(tài)都去創(chuàng)建新的變量，時間復雜度是 O(N)，并且也有空間的消耗。

• 搜索問題的狀態(tài)空間一般很大，在候選數(shù)比較多的時候，在非葉子結點上創(chuàng)建新的狀態(tài)變量的性能消耗就很嚴重；

• 就本題而言，只需要葉子結點的那個狀態(tài)，在葉子結點執(zhí)行拷貝，時間復雜度是 ?O(N)。路徑變量在深度優(yōu)先遍歷的時候，結點之間的轉換只需要 ?O(1)。

為什么不使用廣度優(yōu)先遍歷？

• 如果使用廣度優(yōu)先遍歷，從淺層轉到深層(請讀者想象廣搜的過程)，狀態(tài)的變化就很大，此時我們不得不在每一個狀態(tài)都新建變量去保存它，上面已經(jīng)分析過了，從性能來說是不劃算的；

• 從編寫代碼的角度上來說，如果使用廣度優(yōu)先遍歷就得使用隊列，然后編寫結點類。而使用深度優(yōu)先遍歷，我們可以直接使用了系統(tǒng)棧，系統(tǒng)棧幫助我們保存了每一個結點的狀態(tài)信息。于是我們不用編寫結點類，不必手動編寫棧完成深度優(yōu)先遍歷。

這道題用廣度優(yōu)先遍歷寫是完全可以的，我嘗試過，代碼寫出來非常不美觀。

感興趣的朋友也可以嘗試寫一下，嘗試寫廣搜的目的是更好地體會為什么“深搜”能成為強大的“回溯搜索算法”，而廣搜不是。

認識“剪枝”

由于回溯算法的時間復雜度很高，因此，在遍歷的時候，如果能夠提前知道這一條分支不能搜索到滿意的結果，這一分支就可以跳過，這一步操作就是在一棵樹上剪去一個枝葉，被人們很形象地稱之為剪枝。

回溯算法會大量應用“剪枝”技巧達到以加快搜索速度。這里有幾點提示：

1、有時，需要做一些預處理工作(例如排序)才能達到剪枝的目的。雖然預處理工作雖然也消耗時間，但和剪枝能夠節(jié)約的時間相比是微不足道的。因此，能預處理的話，就盡量預處理；

2、正是因為回溯問題本身時間復雜度就很高，所以能用空間換時間就盡量使用空間。

如果大家玩得轉“剪枝”，或許在開篇列出的一些簡單的游戲問題就不在話下了，感興趣的朋友不妨挑戰(zhàn)一下。關于“剪枝”的技巧，以后有機會，我再和大家做一次分享。

練習

下面提供一些我做過的“回溯”算法的問題，都是特別基礎的使用回溯算法解決的問題，以便大家學習和理解“回溯算法”。以下提供一個經(jīng)驗：

做回溯搜索問題?第 1 步都是先畫圖，畫圖是非常重要的，只有畫圖才能幫助我們想清楚遞歸結構，看清楚、想清楚如何剪枝。

具體的做法是：就拿題目中的示例，想一想人手動操作是怎么做的，一般這樣下來，這棵遞歸樹都不難畫出。

在畫圖的過程中需要思考清楚的問題有：

1、分支如何產(chǎn)生，即：每一步有哪些選擇；

2、題目需要的解在哪里？是在葉子結點、還是在非葉子結點、還是在從跟結點到葉子結點的路徑？

3、哪些搜索是會產(chǎn)生不需要的解的，這里要特別清楚深搜是怎么運行的，在深搜的過程中，狀態(tài)變量發(fā)生了什么變化。例如：產(chǎn)生重復是什么原因，如果在淺層就知道這個分支不能產(chǎn)生需要的結果，應該提前剪枝，剪枝的條件是什么，代碼怎么寫？

五分鐘學算法：思維導圖

回溯算法基礎問題列表

題目提示

47. 全排列 II	思考一下，為什么造成了重復，如何在搜索之前就判斷這一支會產(chǎn)生重復，從而“剪枝”。
17 .電話號碼的字母組合	字符串問題，沒有顯式回溯的過程
22. 括號生成	字符串問題，沒有顯式回溯的過程。這道題廣度優(yōu)先遍歷也很好寫，可以通過這個問題理解一下為什么回溯算法都是深度優(yōu)先遍歷，并且都用遞歸來寫。
39. 組合總和	使用題目給的示例，畫圖分析。
40. 組合總和 II
51. N皇后	其實就是全排列問題，注意設計清楚狀態(tài)變量。
60. 第k個排列	利用了剪枝的思想，剪去了大量枝葉，直接來到需要的葉子結點。
77. 組合	組合問題按順序找，就不會重復。并且舉一個中等規(guī)模的例子，找到如何剪枝，這道題思想不難，難在編碼。
78. 子集	為數(shù)不多的，解不在葉子結點上的回溯搜索問題。解法比較多，注意對比。
90. 子集 II	剪枝技巧同 47 題、39 題、40 題。
93. 復原IP地址
784. 字母大小寫全排列

END

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●?答應我，別再if/else走天下了可以嗎

●?如何利用寒假的時間來準備2020年的藍橋杯?

●?給大家推薦一款軟件

● 關于計算機讀研的小建議

原創(chuàng)不易，點“在看”你懂得?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的c语言全排列算法_一文学会回溯搜索算法解题技巧的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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