市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)的r0只是等效r的其中之一

于德浩

2020.6.23

在BS期權(quán)定價(jià)方程中，用到了一個(gè)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)，可后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)，由此方程解出的期權(quán)價(jià)格C不僅適用于理想的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性條件，也符合現(xiàn)實(shí)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡或風(fēng)險(xiǎn)未知的情形。

我在上一篇的推導(dǎo)中，指出BS期權(quán)定價(jià)方程是特殊條件下成立，但解得的認(rèn)購(gòu)期權(quán)價(jià)格C具有一般普適性。因?yàn)?#xff0c;我們只要找到一個(gè)等效的收益率r，使得a*r1-b*r2=(a-b)*r成立即可。顯然，r=r1=r2=r0，（市場(chǎng)中性條件，都是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率），這是其中一個(gè)特解。 當(dāng)r1與r2不相等時(shí)，任意市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)情形下，我們依然可以找到這個(gè)等效收益率r=（a*r1-b*r2）/（a-b）。這就是解出的期權(quán)價(jià)格具有一般普適性的根本原因。

這里的具體實(shí)踐應(yīng)用，就是在BS期權(quán)定價(jià)公式中，進(jìn)行市場(chǎng)價(jià)格數(shù)據(jù)擬合時(shí)，調(diào)節(jié)不同的r和σ。

數(shù)據(jù)實(shí)證。 在2020.5.19日，上證50ETF股價(jià)收盤(pán)2.852元。當(dāng)時(shí)，剩余35天的認(rèn)購(gòu)期權(quán)，行權(quán)價(jià)從2.7500到2.9500的5個(gè)合約價(jià)格依次是，0.1165元，0.0823，0.0530，0.0324，0.0192元。 最近20個(gè)交易日的年化歷史波動(dòng)率，行情軟件顯示為11.1%；隱波是9.70%，12.38%，12.93%，13.49%，14.12%。

顯然，行情軟件顯示的隱含波動(dòng)率是根據(jù)BS期權(quán)定價(jià)公式反推得到的。我們可以編一個(gè)Python小程序去計(jì)算期權(quán)價(jià)格。 我們代入5個(gè)參數(shù)，S0=2.852, K=2.8500, T=35/365.0; r=0.05, sigma=0.1293。就可以得到平值期權(quán)2.85的理論價(jià)格是0.05367元，這與市場(chǎng)價(jià)0.0530是吻合的。 對(duì)于虛一2.9認(rèn)購(gòu)期權(quán)，參數(shù)r=0.05，sigma=0.1349，輸出是0.03267；與市場(chǎng)價(jià)0.0324吻合。 對(duì)于虛二2.95認(rèn)購(gòu)，參數(shù)r=0.05，sigma=0.1412，輸出是0.01923；與市場(chǎng)價(jià)0.0192吻合。對(duì)于實(shí)一2.8認(rèn)購(gòu)，參數(shù)r=0.05，sigma=0.1238，輸出是0.08347；與市場(chǎng)價(jià)0.0823吻合。

也就是說(shuō)，行情軟件中，設(shè)定的市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率參數(shù)r0=5%。 這里有一個(gè)疑惑，就是年5%收益率，要比實(shí)際的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的銀行存款收益率年2%大。 如果，我們?cè)谧约旱男〕绦蛑?#xff0c;把r=0.05變成0.02，那么輸出的理論平值期權(quán)價(jià)格就是0.04932，比市場(chǎng)價(jià)低7%。

其實(shí)，我們也能看到BS期權(quán)定價(jià)公式的不足之處，就是，為了能與市場(chǎng)價(jià)數(shù)據(jù)吻合，得不斷調(diào)整隱含波動(dòng)率才行，而且都比已知的歷史波動(dòng)率0.1110要高。 當(dāng)然，由于這幾個(gè)隱波參數(shù)相差不大，與歷史波動(dòng)率也相差不太大，也說(shuō)明BS期權(quán)定價(jià)理論公式還是相當(dāng)好的。

現(xiàn)在，我們固定隱含波動(dòng)率=歷史波動(dòng)率=0.1110，去調(diào)節(jié)參數(shù)r（等效的收益率）去擬合數(shù)據(jù)。 平值期權(quán)2.85，參數(shù)r=0.09，sigma=0.1110，就可以輸出0.05360；對(duì)于虛一2.9認(rèn)購(gòu)，參數(shù)r=0.12，sigma=0.1110，就可以輸出0.03224；對(duì)于虛二2.95認(rèn)購(gòu)，參數(shù)r=0.17，sigma=0.1110，就可以輸出0.01929。 對(duì)于實(shí)一2.8認(rèn)購(gòu)，參數(shù)r=0.07，sigma=0.1110，輸出是0.08386；對(duì)于實(shí)二2.75認(rèn)購(gòu)，參數(shù)r=0.03，sigma=0.1110，輸出是0.1160；與市場(chǎng)價(jià)0.1165吻合。 這個(gè)解釋更合理，股價(jià)的預(yù)期波動(dòng)率不變，但是風(fēng)險(xiǎn)越高的虛值期權(quán)，其預(yù)期等效收益率也越高。

就是說(shuō)，對(duì)于同一個(gè)BS期權(quán)定價(jià)公式，由于有兩個(gè)未知的參數(shù)r和σ，對(duì)于市場(chǎng)數(shù)據(jù)的解釋，有三種說(shuō)法。一是傳統(tǒng)的市場(chǎng)中性解釋，r就是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，是銀行存款利率年2%，這個(gè)不能動(dòng)，我們用r=0.02,sigma=0.1393,就能與市場(chǎng)價(jià)格0.0530元吻合。美中不足的是這個(gè)波動(dòng)率參數(shù)0.1393比歷史波動(dòng)率0.111要大些，我們稱(chēng)之為隱含波動(dòng)率。也許這個(gè)隱含波動(dòng)率與歷史波動(dòng)率本就不相等。

第二種解釋，我們用r=0.05,sigma=0.1293,也能吻合市場(chǎng)價(jià)格。 這樣，我們的隱波要更接近歷史波動(dòng)率的大小，但是，這里認(rèn)為，這個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率r，應(yīng)該是債券類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率，與實(shí)際的銀行存款無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率不是一回事。

第三種解釋，我用r=0.09，sigma=0.111=歷史波動(dòng)率，也能吻合市場(chǎng)價(jià)格。 隱含波動(dòng)率是客觀存在的，應(yīng)該一樣，并且與應(yīng)該與歷史波動(dòng)率相等。 而r是一個(gè)等效收益率，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)不同，r也就不相同。 顯然定性的講，風(fēng)險(xiǎn)越大，這個(gè)r就會(huì)越大，這是風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。

對(duì)于平值期權(quán)，投資組合的等效收益率是年9%。這是做空1份平值認(rèn)購(gòu)期權(quán)，同時(shí)做多0.5份正股。 把期權(quán)價(jià)格0.0530元，股價(jià)2.852元代入，股票年均收益率μ=10%。就是，(0.5*2.852-0.0530)*0.09=0.5*2.852*0.10-0.053*rx。 從而解得認(rèn)購(gòu)期權(quán)的預(yù)期年均收益率rx=0.36。

對(duì)于虛二期權(quán)，(0.3*2.852-0.0192)*0.17=0.3*2.852*0.10-0.0192*ry。解得ry= -2.95 。虛二認(rèn)購(gòu)期權(quán)的預(yù)期收益率是負(fù)值？ 意思是，由于股票收益率是μ=0.10，那么虛二認(rèn)購(gòu)期權(quán)，一般情形下，不會(huì)行權(quán)。所以，買(mǎi)虛值期權(quán)，預(yù)期收益就是虧損。 對(duì)于虛一認(rèn)購(gòu)期權(quán)，(0.4*2.852-0.0324)*0.12=0.4*2.852*0.10-0.0324*rz。解得ry= -0.58。 對(duì)于實(shí)一認(rèn)購(gòu)，(0.7*2.852-0.0823)*0.07=0.7*2.852*0.10-0.0823*r。 解得r=0.80。 不大對(duì)啊，應(yīng)該估計(jì)是平值期權(quán)收益最大啊？ 對(duì)于實(shí)二認(rèn)購(gòu)，(1.0*2.852-0.1165)*0.03=1.0*2.852*0.10-0.1165*r。 解得r=1.74。 這個(gè)就更不對(duì)了啊。 這里的問(wèn)題，應(yīng)該是把整體的年化收益率μ=10%，近似給了平均局部月收益率0.8%。 實(shí)際，如果一個(gè)月是上漲的話(huà)，月收益率大約是3%。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的python行业中性_市场风险中性假设的r0只是等效r的其中之一的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。