根據(jù)控制理論的建立過程，一般是分為系統(tǒng)模型的建立、模型的求解與分析，模型的調(diào)配和改進(jìn)，這是經(jīng)典的系統(tǒng)學(xué)思路。

一、基本運(yùn)動分析

上篇文章我們粗略建立了狀態(tài)空間方程——這一用來描述系統(tǒng)的新模型，接下來要做的就是根據(jù)方程進(jìn)行求解來建立系統(tǒng)狀態(tài)屬于輸入和初始狀態(tài)的演化規(guī)律，在控制理論中被稱為運(yùn)動分析。

根據(jù)一貫習(xí)慣，在解方程之前，首先要判定方程到底有沒有解

如果系數(shù)矩陣的所有元在時間 定義區(qū)間上為時間t的連續(xù)實(shí)函數(shù)，輸入的所有元在時間定義區(qū)間 上為時間t的連續(xù)實(shí)函數(shù)，那么狀態(tài)方程的解存在且唯一，

簡單來說，對于實(shí)際物理系統(tǒng)，解總是存在的。

對于線性系統(tǒng)來說，它滿足疊加原理，而根據(jù)疊加原理我們就能夠推出來，復(fù)雜響應(yīng)可以分為由初始狀態(tài)x0導(dǎo)致的零輸入響應(yīng)和由外部輸入導(dǎo)致的零初態(tài)響應(yīng)，簡單理解就是本身有多少加上外部給了多少

重點(diǎn)在于這個式子：

對于這個方程，我們可以采用一個新的視角，比如畫出它的圖像，看看怎么變化，也就是以后經(jīng)常提到的軌線，而這種思路和穩(wěn)定性結(jié)合起來，也對穩(wěn)定性的理解加深了一下。

而對于

的計(jì)算，可以參考矩陣論教材矩陣指數(shù)函數(shù) - 百度文庫?wenku.baidu.com

系統(tǒng)的零初態(tài)響應(yīng)

考慮連續(xù)時間線性時不變，系統(tǒng)利用系統(tǒng)的初始狀態(tài)等于0，它的零初態(tài)響應(yīng)即方程的解則有以下形式

類似的我們可以看出零初態(tài)響應(yīng)隨時間t演化的軌跡，在屬性上是屬于輸入驅(qū)動下的強(qiáng)迫運(yùn)動，輸入是導(dǎo)致響應(yīng)的唯一激勵作用，它的軌線的形態(tài)取決于它的系統(tǒng)特性和輸入作用，

作為外部輸入驅(qū)動的響應(yīng)，我們更關(guān)心的是，能不能通過一個特定的輸入使得軌線達(dá)到指定的狀態(tài)空間的狀態(tài)點(diǎn)，這也被稱為能達(dá)性，能達(dá)性及相關(guān)的能控性是一個重要概念，將在后續(xù)深入討論。

系統(tǒng)運(yùn)動規(guī)律的基本表達(dá)式

如果將前面討論的零輸入響應(yīng)和零初態(tài)響應(yīng)相加在一起，就能得到系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動規(guī)律的基本表達(dá)式如下：

特別的，對于特征值，兩兩相異的連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)可以導(dǎo)出基于特征值和特征向量的狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式。根據(jù)特征結(jié)構(gòu)的狀態(tài)響應(yīng)關(guān)系式及其推論。系統(tǒng)運(yùn)動行為性能與特征值特征向量有著直接的關(guān)系，在隨后的介紹中還將討論穩(wěn)定性、能控性，能觀性和特征值的關(guān)系。特征結(jié)構(gòu)，特別是特征值，也是系統(tǒng)綜合的一類重要指標(biāo)形式，

線性系統(tǒng)理論第三章 線性系統(tǒng)的運(yùn)動分析?wenku.baidu.com

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二、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

不管是初始狀態(tài)引起的運(yùn)動，還是輸入作用引起的運(yùn)動，本質(zhì)上都屬于相應(yīng)狀態(tài)的一種轉(zhuǎn)移，引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣有利于使?fàn)顟B(tài)響應(yīng)表達(dá)式更為直觀的反映這個事實(shí)。

先討論零輸入響應(yīng)

可以看出在t大于t0的任意時刻，系統(tǒng)的狀態(tài)是通過矩陣指數(shù)函數(shù)

，由初始狀態(tài)在狀態(tài)空間中實(shí)現(xiàn)的轉(zhuǎn)移，因此可以將 記作 ，稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 （此處需要注明：國內(nèi)線性系統(tǒng)理論里，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是從基本解陣引出的）

有了這個認(rèn)識，再討論一般的情況，由基本表達(dá)式可得

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三、脈沖響應(yīng)矩陣

前面經(jīng)典控制理論里提到了脈沖信號和脈沖響應(yīng)，既然傳遞函數(shù)都可以推廣到多輸入多輸出，那么脈沖響應(yīng)也能推廣到脈沖響應(yīng)矩陣：

此處簡單介紹一個非常重要的概念：卷積。

如何通俗易懂地解釋卷積？?www.zhihu.com

對于線性時不變系統(tǒng)，如果我們知道輸入作用和脈沖響應(yīng)或者脈沖響應(yīng)矩陣，就可以通過卷積的形式求出來此時的輸出響應(yīng)。

當(dāng)然，對于我們應(yīng)用角度來說，更感興趣的是脈沖響應(yīng)矩陣與狀態(tài)空間方程有什么關(guān)系

與傳遞函數(shù)矩陣有什么關(guān)系

一些其他結(jié)論

線性時變系統(tǒng)的推廣

對于線性時變系統(tǒng)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本形式：

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四、離散化

在計(jì)算機(jī)控制文章里介紹了離散化方法，這里推廣到狀態(tài)空間里

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參考文獻(xiàn)：

1、線性系統(tǒng)理論，鄭大鐘

2、線性系統(tǒng)理論與設(shè)計(jì)，陳啟宗

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性时变系统能用模型预测控制吗_线性系统理论（二）运动分析的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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