汽車和山羊問題

題目的背景介紹：

現有三扇門，其中一扇門后是一輛車，另外兩扇門后是一頭山羊。

選手從1，2，3號三扇門中選出一扇(僅標記，不打開)，接著主持人再從未標記的兩扇門中選出一扇打開。

主持人知道每扇門后放的是什么，所以每次主持人都選擇后面是羊的那扇門打開。

選手有一次改變自己選擇的機會。

最后，打開選手最終選中的那扇門，以選手最終選擇的是車為獲勝。

請問選手是否需要改變選擇？

汽車和山羊問題求解

一、對該問題的枚舉分析

是否更換

選擇幾號門

如果車在一號門后

如果車在二號門后

如果車在三號門后

# 不換

一號

\(√\)

\(×\)

\(×\)

二號

\(×\)

\(√\)

\(×\)

三號

\(×\)

\(×\)

\(√\)

# 換

一號

\(×\)

\(√\)

\(√\)

二號

\(√\)

\(×\)

\(√\)

三號

\(√\)

\(√\)

\(×\)

?令更換選擇且成功為事件A，不更換選擇且成功為事件B，那么顯然我們可以得出二者的概率為：

\[P(A)=\frac{1}{3}\quad\quad\quad P(B)=\frac{2}{3}

\]

二、對該問題的條件概率概率分析

?令更換選擇為事件A，不更換選擇為事件B，顯然

\[P(A)=P(B)=\frac{1}{2}

\]

1. 如果沒有更換選擇

?車在一、二、三號門后分別為事件a、b、c，則

\[P(a)=P(b)=P(c)=\frac{1}{3}

\]

?

?令選擇一、二、三號門分別為事件1，2，3，則

\[P(1)=P(2)=P(3)=\frac{1}{3}

\]

?那么顯然沒有更換選擇且成功的概率設為\(P(\alpha)\)就是

\[P(\alpha)=P(1\cap a)+P(2\cap b)+P(3\cap c)=1/9+1/9+1/9=1/3

\]

?故\(P(\alpha)=1/3\)

2. 如果更換了選擇

?顯然我們可知如果更換選擇，那么如果剛開始選的是對的則最后是錯的，剛開始選的是錯的則最后是對的

?車在一、二、三號門后分別仍設為事件a、b、c，則

\[P(a)=P(b)=P(c)=\frac{1}{3}

\]

?

?令選擇一、二、三號門也分別為事件1，2，3，則

\[P(1)=P(2)=P(3)=\frac{1}{3}

\]

?那么顯然更換選擇且成功的概率設為\(P(\beta)\)就是

\[P(\beta)=P(2\cap a)+P(3\cap a)+P(1\cap b)+P(3\cap b)+P(1\cap c)+P(2\cap c)\\

=1/9+1/9+1/9+1/9+1/9+1/9=2/3

\]

?故\(P(\beta)=2/3\)

三、基于\(MATLAB\)的模擬實驗

先用\(Python\)做了模擬實驗

from random import*

TIMES = 10000

nochange=0 #初始化不改選擇的次數

change=0 #初始化更改選擇的次數

for i in range(TIMES):

Door=randint(0,2) #汽車在哪個門

guess=randint(0,2) #我的選擇是哪個門

if Door==guess: #猜對了

nochange+=1 #不改選擇的次數+1

else:

change+=1 #更改選擇的次數+1

print("不改選擇:{}".format(nochange/TIMES))

print("更改選擇:{}".format(change/TIMES))

# 以下為測試數據

# 不改選擇:0.332 更改選擇:0.668

# 不改選擇:0.3283 更改選擇:0.6717

# 不改選擇:0.331 更改選擇:0.669

# 不改選擇:0.3308 更改選擇:0.6692

# 不改選擇:0.3369 更改選擇:0.6631

可以看到模擬實驗的頻率都穩定在上述分析得出的理論概率附近

另用\(MATLAB\)也做了模擬

n = 100000;%%n代表隨機次數

nochange = 0; %%不改變選擇

change = 0;%%改變選擇

for i= 1 : n %%車在哪個門后

x = randi([1,3],1);

y = randi([1,3],1); %%我的選擇哪個門

if x == y%%選對了

nochange = nochange + 1;%%不改選擇的次數+1

end

if x ~= y %%選錯了

change = change + 1; %%更改選擇的次數+1

end

end

disp(nochange/n); %%輸出不改變選擇時的獲獎概率

disp(change/n); %%輸出改變選擇時的獲獎概率

%%以下為測試數據

%%不改變0.3342 改變0.6658

%%不改變0.3286 改變0.6714

%%不改變0.3351 改變0.6649

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python汽车仿真_汽车山羊问题的分析以及Python和MATLAB仿真实验的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。