python 拓扑排序_拓扑排序（topsort）算法详解
在圖論中，由某個集合上的偏序得到全序的策略就是拓補排序算法。拓撲排序常出現在涉及偏序關系的問題中，例如時序的先后、事物的依賴等。針對這些問題拓撲排序通常能有效地給出可行解。
為了便于理解，我們先來看一個實例，開源軟件常使用GNU make工具來管理項目的構建，這里的“項目”是由若干個“對象”構成的。Makefile文件則描述了這些“對象”的構建規則，即給出一系列對象間的依賴關系。若對象A依賴于對象B，則說明對象B必須先于對象A構建，否則構建將無法進行。make的任務就是合理安排各個對象構建的先后順序，使得過程能順利地完成。
作為例子，一個Makefile文件的內容如下：每行描述一個規則。例如第一行指明對象foo.o和bar.o必須先于target構建。
target: foo.o bar.o
foo.o: foo.c foo.h
bar.o: bar.c bar.h
我們先對問題進行數學轉化。離散數學為我們描述對象間的關系提供了有力工具——偏序。令X為所有要研究的對象的集合。集合X上的一個關系R是偏序，當且僅當R滿足自反性、對稱性、傳遞性。
定義如下關系：xRy：x必須先于y被構建，即y依賴x，因為R滿足偏序的性質，xRy也記為x?y。到此我們成功地對問題進行了建模。接下來使用DAG來表示每個對象間的關系，圖的每一個頂點表示一個對象、有向線段表示關系?起點?終點。
(圖一)
如何合理布局各個對象的構建順序，使得構建過程可以順利地進行下去呢？一種直觀的想法是：先選擇不被其它對象依賴的作為第1個對象；再考慮第2個對象，它除了已選的第1個對象外，不應該被其它對象依賴；選擇第n個對象，它除了前面已選的第1~n-1對象外，不能再被其它對象依賴。按照這個規則依次選出對象，即可保證構建過程順利結束。
可以認為在DAG中，這種直觀想法是正確的。這種策略的結果用下圖描述，但是，這并不是真正的拓撲排序：
(圖二)
問題在于，得到的圖并沒有反映排序結果，充其量不過把圖重新擺了一個形態，而圖所描述的關系并沒有本質的改變。如何解決這一問題？這就要引入全序。從圖中直觀地看出，只有部分對象之間具有偏序關系，作為反例，bar.h與bar.c之間無偏序關系，因此R不是集合X上的全序關系。試想在圖中，如果為每一對不能比較的對象，強制添加一個關系u?v(或v?u)，使得集合X中每兩個對象都能建立關系，則R就成為了X上的全序關系，如圖三所示。
(圖三)
按照Hass圖的順序排列各個頂點得到圖三，我們發現從最底部頂點bar.c出發，總有一條路徑能走完所有頂點并到達最頂部頂點target，另一個重要的觀察是，對于圖中任意一對頂點u和v，若邊∈Edges，則u在線性序列中出現在v之前，因此我們得到的結果拓撲有序。線性排列所有頂點，如下圖所示：
這個結果便是原問題的拓撲排序。因為添加關系u?v的方法不一定唯一，所以拓撲排序不一定唯一。但無論哪種情況，拓撲排序都滿足一個關鍵的性質：沒有一個節點指向它前面的節點，形式化地描述：對于圖中的任意兩個結點u和v，若存在一條有向邊，則在拓撲排序中u一定出現在v前面。這條性質描述了拓撲排序的本質，為我們編寫可行的算法提供了依據。
另外一些需要補充的定理是，有向圖拓撲排序存在的充分必要條件是圖為DAG(有向無環圖)，這個結論用于判斷問題是否有解，也可用于判斷一個有向圖是否有環。
算法的求解過程如下：首先統計所有頂點的入度。然后：
a.
尋找所有入度為0的頂點，追加到結果序列末尾并將其從圖中移除，同時將其所有鄰接頂點的入度減一。
b.
重復a，直到所有頂點都從圖中移除。
算法結束時，所得結果序列便是最終答案。
對于任意一個可能帶環的有向圖，在尋找入度為0的頂點時，如果找不到，說明圖的拓撲排序是不存在的，即問題無解。
上述的“移除”是邏輯層面的概念，具體實現中，我們不需要真正地將頂點從圖中移除，因為某次a.中找到的入度為0的頂點只可能出現在上一次a.中入度被減一的頂點中。當a找到入度為0的頂點時，就會把它的鄰接頂點的入度減一，這時便可以順便統計入度減為0的頂點，下次a直接從這些入度為0的頂點開始，無需再從整個圖中尋找入度為0的頂點。
最后通過一道UVa的題目來說明算法的具體實現：
UVa10305(Ordering Tasks)
題目大意
給出一堆任務，其中一個任務必須在它依賴的所有任務都完成后才能執行。已知任務之間的關系，求可能的執行順序。
分析
思路與make的例子一致。這里使用vector存儲鄰接表，數組deg_in維護每個頂點的入度，隊列que維護每趟中入度被減為0的頂點。
參考代碼
#include #include
#define N 100+2
using namespacestd;static vectorcon[N];static intdeg_in[N];int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);intn,m;while((cin >> n >> m) &&n) {for(int i=1;i<=n;++i) {
con[i].clear();
deg_in[i]= 0;
}for(int i=0; i
cin>> a >>j;
con[a].push_back(j);++deg_in[j];
}//
//找出第一個度為0的頂點// queueque;
vectorans;for(int i=1; i<=n; ++i) {if (!deg_in[i]) {
que.push(i);
}
}//
//求排序中其它n-1個頂點// while(!que.empty()) {int u =que.front();
que.pop();
ans.push_back(u);for(size_t i=0; i
que.push(t);
}
}
}for(size_t i=0; i
cout<< ans[i] << (i==ans.size()-1 ? "" : " ");
}
cout<
}return 0;
}
總結
以上是生活随笔為你收集整理的python 拓扑排序_拓扑排序（topsort）算法详解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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