本篇將介紹關于旋轉的內容，一個關于旋轉構造的定理-托勒密定理，定理本身并非課內知識，但在近年中考中，已經不止一次地出現了，因而值得重視．

01

定理介紹

托勒密定理

定理：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和．

翻譯：在四邊形ABCD中，若A、B、C、D四點共圓，則AC·BD=AB·CD+AD·BC．

定理證明

證明：在線段BD上取點E，使得∠BAE=∠CAD，

易證△AEB∽△ADC，

∴AB:AC=BE:CD，即AC·BE=AB·CD，

當∠BAE=∠CAD時，可得：∠BAC=∠EAD，

易證△ABC∽△AED，

∴AD:AC=DE:CB，即AC·DE=AD·BC，

∴AC·BE+AC·DE=AB·CD+AD·BC，

∴AC·BD=AB·CD+AD·BC．

定理推廣-托勒密不等式

推廣(托勒密不等式)：對于任意凸四邊形ABCD，AC·BD≤AB·CD+AD·BC

證明：如圖1，在平面中取點E使得∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD，

易證△ABE∽△ACD，∴AB:AC=BE:CD，

即AC·BE=AB·CD①，

連接DE，如圖2，

∵AB/AC=AE/AD，∴AB/AE=AC/AD，

∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE，

∴△ABC∽△AED，∴AD/AC=DE/BC，

即AC·DE=AD·BC②，

將①+②得：AC·BE+AC·DE=AB·CD+AD·BC，

∴AC·BD≤AC(BE+DE)=AB·CD+AD·BC

即AC·BD≤AB·CD+AD·BC，

當且僅當A、B、C、D共圓時取到等號．

托勒密定理在中考題中的應用

托勒密定理在中考題中的應用

(1)當△ABC是等邊三角形時，

如圖1，當點D在弧AC上時，

根據托勒密定理有：AC·BD=AB·CD+AD·BC，

又等邊△ABC有AB=AC=BC，

故有結論：BD=AD+CD．

證明：在BD上取點E使得DE=DA，

易證△AEB∽△ADC，△AED∽△ABC，

利用對應邊成比例，可得：BD=AD+CD．

如圖2，當點D在弧BC上時，結論：DA=DB+DC．

【小結】雖然看似不同，但根據等邊的旋轉對稱性，圖1和圖2并無區別．

(2)當△ABC是等腰直角三角形，

如圖3，當點D在弧BC上時，

根據托勒密定理：AD·BC=AB·CD+AC·BD，

又AB:AC:BC=1:1:根號2，

代入可得結論：根號2AD=BD+CD．

如圖4，當點 D在弧AC上時，

根據托勒密定理：AD·BC=AB·CD+AC·BD，

又AB:AC:BC=1:1:根號2，

代入可得結論：BD=根號2AD+CD．

(3)當△ABC是一般三角形時，

若記BC：AC：AB=a：b：c，

根據托勒密定理

可得：a·AD=b·BD+c·CD．

02

中考題中的托勒密定理

2019仙桃中考

2019威海中考

2017臨沂中考

2016淮安中考

總結

以上是生活随笔為你收集整理的香农定理和奈奎斯特定理区别_「中考复习」三大变换之旋转（旋转的构造-托勒密定理）...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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