數(shù)學(xué)算法

本節(jié)內(nèi)容將介紹數(shù)學(xué)算法。主要包含數(shù)學(xué)上幾個基本問題，算術(shù)分析方法，斐波那契數(shù)列問題，篩選算法，以及最大公約數(shù)問題。

知識點(diǎn)數(shù)學(xué)幾個基本問題

算術(shù)分析方法

斐波那契數(shù)列問題

篩選算法

最大公約數(shù)問題

數(shù)學(xué)上幾個基本問題

在編程界，有這么幾個經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，這里給大家簡單介紹下。

3 n+1 問題

對于任意大于 1 的自然數(shù) n，若該數(shù)為偶數(shù)則將其變?yōu)樵瓉淼囊话?#xff0c;若為奇數(shù)則將其變?yōu)? n+1。反復(fù)進(jìn)行上述過程，直到結(jié)果為 1 時停止。這就是著名的“3 n+1”問題。要求輸入 n，輸出按“3 n+1”規(guī)則變換到 1 所需要的數(shù)字變換次數(shù)。(n<=10^9)

題目描述：

3 n+1 問題是一個簡單有趣而又沒有解決的數(shù)學(xué)問題。這個問題是由 L. Collatz 在 1937 年提出的。克拉茲問題(Collatz problem)也被叫做 hailstone 問題、3n+1 問題、Hasse 算法問題、Kakutani 算法問題、Thwaites 猜想或者 Ulam 問題。克拉茲問題的特殊之處在于：盡管很容易將這個問題講清楚，但直到今天仍不能保證這個問題的算法對所有可能的輸入都有效——即至今沒有人證明對所有的正整數(shù)該過程都終止。

問題如下：輸入一個正整數(shù) n；

如果 n=1 則結(jié)束；

如果 n 是奇數(shù)，則 n 變?yōu)?3 n+1，否則 n 變?yōu)?n/2；

轉(zhuǎn)入第 2 步。

例子：

input:7

output:[7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1] 16

參考代碼如下：

def function(num):

mylist=[num]

while num!=1:

if num%2==1: #如果為奇數(shù)

num=3*num+1

mylist.append(num)

else: #為偶數(shù)

num=num//2

mylist.append(num)

return mylist,len(mylist)-1

print(function(43))

尋找最值問題

在諸多數(shù)學(xué)問題，最值問題一直是爭論的主題。在求最值的探索的過程，如何更快更好地得到最值，一代又一代理論科學(xué)家做出很大的貢獻(xiàn)，逐漸衍化出來很多排序算法。關(guān)于排序算法的知識點(diǎn)，我們將在接下來的章節(jié)里介紹，這里將只對最大值，最小值進(jìn)行簡單討論。

最大值求解

給定一個列表 [2, 4, 9, 7, 19, 94, 5]，請編寫 find_max 函數(shù)，該函數(shù)返回列表的最大值。

這個函數(shù)很容易，相信大家一定能夠自行編寫出來。

參考代碼如下：

def find_max(nums):

max = nums[0]

for x in nums:

if x > max:

max = x

print(max)

?

def main():

find_max([2, 4, 9, 7, 19, 94, 5])

?

if __name__ == '__main__':

main()

最小值求解

定一個列表 [2, 4, 9, 7, 19, 94, 5]，請編寫 find_min 函數(shù)，該函數(shù)返回列表的最小值。

這個函數(shù)也很容易，相信大家一定能夠自行編寫出來。

參考代碼如下：

def find_min(nums):

min=nums[0]

for x in nums:

if x

min=x

pritn(min)

?

def main():

find_max([2, 4, 9, 7, 19, 94, 5])

?

if __name__ == '__main__':

main()

最大公約數(shù)/最小公倍數(shù)

在介紹最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)之前，我們先來介紹下歐幾里得算法

歐幾里得算法

歐幾里得算法又稱輾轉(zhuǎn)相除法，用來求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)。以 1997 和 615 為例，用歐幾里得算法求解如下：

1997=615*3+152

615=152*4+7

152=7*21+5

7=5*1+2

5=2*2+1

2=1*2+0

當(dāng)被加的數(shù)為 0 時，可以得出，1997 和 615 的最大公約數(shù)為 1。

以上做法的依據(jù)是以下定理：

兩個整數(shù)的最大公約數(shù)等于其中較小的那個數(shù)和兩數(shù)相除余數(shù)的最大公約數(shù)。

用數(shù)學(xué)表示為：gcd(a,b)=gcd(b,amodb)

并可以證明歐幾里得算法一定能在有限步內(nèi)結(jié)束。

利用圖形可以更直觀地理解歐幾里得算法

程序設(shè)計：

算法思想：a,b 始終扮演被除數(shù)和除數(shù)的角色。

最大公約數(shù)(greatest common divisor)縮寫為 gcd

參考代碼如下：

def gcd(a,b):

while b:

r=a%b

a=b #經(jīng)過一次求余數(shù)，進(jìn)入第二輪相除，即b的值扮演了被除數(shù)的角色

b=r #r的值扮演了余數(shù)的角色

return a #這里return a的原因是，b作為在最后一輪的除數(shù)已經(jīng)幅值給了a

而對于最小公倍數(shù)則有以下思路求解：

a,b 兩個數(shù)的最小公倍數(shù)乘以他們的最大公約數(shù)約等于 a 和 b 本身的乘積

即LCM(a,b)GCD(a,b)=ab

所以最小公倍數(shù)的求解代碼如下：

def lcm(a,b):

return a*b//gcd(a,b)

請大家編程，構(gòu)造一個 three_gcd 和 three_lcm 函數(shù)，該函數(shù)完成三個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的求解

例子：

input:2,7,6

output: gcd :1 lcm: 84

思路：

計算三個數(shù)的最大公約數(shù)時，利用之前寫好的計算 2 個數(shù)的最大公約數(shù)的方法，先算出 a,b 的公約數(shù)，再用 a,b 的公約數(shù)與 c 再代入方法，此時返回的值就是三個數(shù)的最大公約數(shù)了。對于三個數(shù)的最小公倍數(shù)，繼續(xù)嵌套，先求出兩個數(shù)的，再求與第三個數(shù)的最小公倍數(shù)。

參考代碼如下：

def gcd(a,b):

while b:

r=a%b

a=b #經(jīng)過一次求余數(shù)，進(jìn)入第二輪相除，即b的值扮演了被除數(shù)的角色

b=r #r的值扮演了余數(shù)的角色

return a #這里return a的原因是，b作為在最后一輪的除數(shù)已經(jīng)幅值給了a

def lcm(a,b):

return a*b//gcd(a,b)

def three_gcd(a,b,c):

return gcd(gcd(a,b),c)

def three_lcm(a,b,c):

return lcm(a,b)*c//gcd(gcd(a,b),c)

def main():

a=2

b=7

c=6

print("a:",a)

print("b:",b)

print("c:",c)

print("gcd(",a,",",b,",",c,"):",three_gcd(a,b,c))

print("lcm(",a,",",b,",",c,"):",three_lcm(a,b,c))

if __name__=='__main__':

main()

算術(shù)分析方法

在數(shù)學(xué)問題中，有很多算術(shù)分析方法。包括二分法，牛頓遞歸等等。我們將在接下來的章節(jié)里，逐一介紹這兩種種方法。

二分法

二分法：對于區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且 f(a)·f(b)<0 的函數(shù) y=f(x)，通過不斷地把函數(shù) f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫二分法。

注：定義來自百度百科。

給定精確度 flex,用二分法求函數(shù) f(x) 零點(diǎn)近似值的步驟如下：確定區(qū)間 [a,b],驗證 f(a)*f(b)<0,給定精確度 flex

求區(qū)間 (a,b) 的中點(diǎn) c

計算 f(c):如果 f(c)=0,則 c 就是函數(shù)的零點(diǎn)

如果 f(a)*f(c)<0，則令 b=c

如果 f(c)*f(b)<0, 則令 a=c

判斷是否達(dá)到精確度 flex,即若 |a-b|< flex,則得到零點(diǎn)近似值 a(或 b),否則重復(fù) 2-3 步驟

例子：請在[1,1000]區(qū)間內(nèi)，找到 x^3-2*x-5 的零點(diǎn)

import math

def bisection(function, a, b): #指定函數(shù)function,指定區(qū)間[a,b]

start = a

end = b

if function(a) == 0: #a即為零點(diǎn)

return a

elif function(b) == 0: #b即為零點(diǎn)

return b

elif function(a) * function(b) > 0: #二分法無法在該區(qū)間找到零點(diǎn)

print("couldn't find root in [a,b]")

return

else: #f(a)*f(b)<0 的情況

mid = (start + end) / 2

while abs(start - mid) > 10**-7: # 精確度設(shè)置為10**-7

if function(mid) == 0:

return mid

elif function(mid) * function(start) < 0:

end = mid

else:

start = mid

mid = (start + end) / 2

return mid

?

def f(x):

return math.pow(x, 3) - 2*x - 5

if __name__ == "__main__":

print(bisection(f, 1, 1000))

牛頓法

在數(shù)值分析里面, 牛頓法(亦稱牛頓拉弗森法)是一種方法，用于查找更好的根(或零點(diǎn))的例子尋根算法。牛頓法也被用于求函數(shù)的最值。由于函數(shù)取最值的點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為零，故可用牛頓法求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，其迭代式為

關(guān)于牛頓法和擬牛頓法的區(qū)別，請參考牛頓法和擬牛頓法這篇回答

例子：請用牛頓法，求函數(shù) x*3-2x-5 在 3 附近的零點(diǎn)

參考代碼如下：

def newton(function,function1,start):

#function 是 f(x) function1 是 f(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f'(x)

x_n=start

while True:

x_n1=x_n-function(x_n)/function1(x_n) #遞歸式

if abs(x_n-x_n1) < 10**-5:

return x_n1

x_n=x_n1

def f(x):

return (x**3)-2*x-5

def f1(x):

return 3*(x**2)-2

if __name__=="__main__":

print(newton(f,f1,3))

問題升級：如果題目不提供導(dǎo)函數(shù)，只提供本函數(shù)表達(dá)式，但是提供一個合理區(qū)間，如何求解該區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)？

還是采用牛頓法的思路，導(dǎo)函數(shù)可以采用斜率不斷遞歸的方式。

參考代碼如下：

def intersection(function,start1,start2):

#function 是 f(x),start1,start2 是區(qū)間端點(diǎn)

x_n=start1

x_n1=start2

while True:

x_n2=x_n1-(function(x_n1)/((function(x_n1)-function(x_n))/(x_n1-x_n))) # 遞歸式

if abs(x_n2-x_n1) < 10**-5:

return x_n2

x_n=x_n1

x_n1=x_n2

def f(x):

return (x**3)-2*x-5

if __name__=="__main__":

print(intersection(f,3,3.5))

斐波那契數(shù)列問題

斐波那契數(shù)列(Fibonacci sequence)，又稱黃金分割數(shù)列、因數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34...

在數(shù)學(xué)上，費(fèi)波那契數(shù)列是以遞歸的方法來定義的：F(0) = 0

F(1) = 1

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) (n >= 2)

注：定義來自百度百科。

從數(shù)列上看，我們能看到這是一個典型的遞歸函數(shù)，python 遞歸方法實現(xiàn)。

我們在這里將介紹斐波那契數(shù)列的 3 種用 python 方法實現(xiàn)。使用 python 遞歸方法實現(xiàn)斐波那契數(shù)列

思路：f(n)=f(n-1)+f(n)，我們直接使用 python 遞歸方法實現(xiàn)斐波那契數(shù)列

參考代碼如下：

def fibo(num):

if num==1:

return 1

elif num==2:

return 1

elif num>2:

return fibo(num-1)+fibo(num-2)

else:

print("False")

代碼分析：遞歸函數(shù)特點(diǎn)，在函數(shù)內(nèi)部調(diào)用自身本身；所以函數(shù)必須要求調(diào)用有底線，不能無窮向下調(diào)用，斐波那契數(shù)列的底線在 n=1 與 n=2

2. 使用 python 獨(dú)特的列表實現(xiàn)斐波那契數(shù)列

很多遞歸函數(shù)對于 python 來說非常簡單，因為 python 有個獨(dú)特的數(shù)據(jù)類型 list 列表，list 是動態(tài)的我們可以在尾部追加數(shù)據(jù)，這樣一來斐波那契數(shù)列就是簡單的加法游戲了。

參考代碼如下

def fibo(num):

if num==1:

return [1]

elif num==2:

return [1,1]

l=[1,1]

for i in range(2,num):

l.append(l[-2]+l[-1]) #將列表最后兩項的值求和，將值添加到列表最后

return l

?

print(fibo(10))

3. 使用 while 循環(huán)實現(xiàn)

def fibo(num):

a=1

b=1

i=0

l=[]

while i < num:

l.append(a)

a,b=a+b,a

i=i+1

return l

print(fibo(10))

關(guān)于斐波那契數(shù)列用矩陣分解的思路，這里就不詳述了，如果大家對矩陣分解的思路感興趣，請自行探索。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的in python_数学 in python的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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