數(shù)學(xué)建模十五大經(jīng)典數(shù)學(xué)模型

1.灰色預(yù)測(cè)

基于灰色建模理論的灰色預(yù)測(cè)法，按照其預(yù)測(cè)問(wèn)題的特征，可分為五種基本類(lèi)型，即數(shù)列預(yù)測(cè)、災(zāi)變預(yù)測(cè)、季節(jié)災(zāi)變預(yù)測(cè)、拓?fù)漕A(yù)測(cè)和系統(tǒng)綜合預(yù)測(cè)。這五種類(lèi)型的預(yù)測(cè)方法，都是區(qū)域開(kāi)發(fā)研究中重要而且常用的預(yù)測(cè)方法。

2.灰色關(guān)聯(lián)分析方法

在實(shí)際問(wèn)題中，許多因素之間的關(guān)系是灰色的，人們很難分清哪些因素是主導(dǎo)因素，哪些因素是非主導(dǎo)因素；哪些因素之間關(guān)系密切，哪些不密切。灰色關(guān)聯(lián)分析，為我們解決這類(lèi)問(wèn)題提供了一種行之有效的方法。

3.主成分分析方法

地理環(huán)境是多要素的復(fù)雜系統(tǒng)，在我們進(jìn)行地理系統(tǒng)分析時(shí)，多變量問(wèn)題是經(jīng)常會(huì)遇到的。變量太多，無(wú)疑會(huì)增加分析問(wèn)題的難度與復(fù)雜性，而且在許多實(shí)際問(wèn)題中，多個(gè)變量之間是具有一定的相關(guān)關(guān)系的。因此，我們就會(huì)很自然地想到，能否在各個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系研究的基礎(chǔ)上，用較少的新變量代替原來(lái)較多的變量，而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來(lái)較多的變量所反映的信息？事實(shí)上，這種想法是可以實(shí)現(xiàn)的，主成分分析方法就是綜合處理這種問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的方法。

4.模糊聚類(lèi)分析方法

模糊聚類(lèi)分析，是從模糊集的觀(guān)點(diǎn)來(lái)探討事物的數(shù)量分類(lèi)的一類(lèi)方法，主要包括基于模糊等價(jià)關(guān)系與基于最大模糊支撐樹(shù)的模糊聚類(lèi)分析方法。

5.隨機(jī)模擬(蒙特卡羅算法)

隨機(jī)模擬法也叫蒙特卡羅法，它是用計(jì)算機(jī)模擬隨機(jī)現(xiàn)象，通過(guò)大量仿真試驗(yàn)，進(jìn)行分析推斷，特別是對(duì)于一些復(fù)雜的隨機(jī)變量，不能從數(shù)學(xué)上得到它的概率分布，而通過(guò)簡(jiǎn)單的隨機(jī)模擬就可以得到近似的解答。Monte Carlo 法也用于求解一些非隨機(jī)問(wèn)題，如重積分、非線(xiàn)性方程組求解、最優(yōu)化問(wèn)題等。需要指出的是，Monte Carlo計(jì)算量大，精度也不高，因而主要用于求那些解析方法或常規(guī)數(shù)學(xué)方法難解問(wèn)題的低精度解，或用于對(duì)其他算法的驗(yàn)證。

6.多元回歸模型

由于客觀(guān)事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜性及人們認(rèn)識(shí)程度的限制，無(wú)法分析實(shí)際對(duì)象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機(jī)理規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。所以在遇到有些無(wú)法用機(jī)理分析建立數(shù)學(xué)模型的時(shí)候，通常采取搜集大量數(shù)據(jù)的辦法，基于對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析去建立模型，其中用途最為廣泛的一類(lèi)隨即模型就是統(tǒng)計(jì)回歸模型。

7.正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)是利用正交表科學(xué)的安排與分析多因素試驗(yàn)的方法，是最常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)之一。正交表分為等水平正交表和混合水平正交表。等水平代表各因素所取的水平數(shù)相同，混合水平表示各因素的水平數(shù)不一定相同。

8.圖論

圖論中的“圖”是指某類(lèi)具體事物和這些事物之間的聯(lián)系。如果我們用點(diǎn)表示這些具體事物，用連接兩點(diǎn)的線(xiàn)段(直的或曲的)表示兩個(gè)事物的特定的聯(lián)系，就得到了描述這個(gè)“圖”的幾何形象。圖論為任何一個(gè)包含了一種二元關(guān)系的離散系統(tǒng)提供了一個(gè)數(shù)學(xué)模型，借助于圖論的概念、理論和方法，可以對(duì)該模型求解。圖論是運(yùn)籌學(xué)中的一個(gè)經(jīng)典和重要的分支，所研究的問(wèn)題涉及經(jīng)濟(jì)管理、工業(yè)工程、交通運(yùn)輸、計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息技術(shù)、通訊與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)等諸多領(lǐng)域。其中包括的問(wèn)題有最短路問(wèn)題、最大流問(wèn)題、最小費(fèi)用流問(wèn)題和匹配問(wèn)題等。

9.目標(biāo)規(guī)劃模型

為了克服線(xiàn)性規(guī)劃的局限性，目標(biāo)規(guī)劃采用設(shè)置偏差量、統(tǒng)一處理目標(biāo)與約束以及設(shè)置目標(biāo)的優(yōu)先級(jí)與權(quán)系數(shù)等手段，除剛性約束必須嚴(yán)格滿(mǎn)足外，對(duì)所有目標(biāo)約束均允許有偏差。目標(biāo)規(guī)劃的求解過(guò)程要從高到低逐層優(yōu)化，在不增加高層次目標(biāo)的偏差值的情況下，逐次使低層次的偏差達(dá)到極小。

10.馬爾可夫預(yù)測(cè)方法

對(duì)事件的全面預(yù)測(cè)，不僅要能夠指出事件發(fā)生的各種可能結(jié)果，而且還必須給出每一種結(jié)果出現(xiàn)的概率，說(shuō)明被預(yù)測(cè)的事件在預(yù)測(cè)期內(nèi)出現(xiàn)每一種結(jié)果的可能性程度。這就是關(guān)于事件發(fā)生的概率預(yù)測(cè)。馬爾可夫(Markov)預(yù)測(cè)法，就是一種關(guān)于事件發(fā)生的概率預(yù)測(cè)方法。它是根據(jù)事件的目前狀況來(lái)預(yù)測(cè)其將來(lái)各個(gè)時(shí)刻(或時(shí)期)變動(dòng)狀況的一種預(yù)測(cè)方法。馬爾可夫預(yù)測(cè)法是地理預(yù)測(cè)研究中重要的預(yù)測(cè)方法之一。

11.時(shí)間序列分析

按照時(shí)間的順序把隨機(jī)事件變化發(fā)展的過(guò)程記錄下來(lái)就構(gòu)成了一個(gè)時(shí)間序列。對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行觀(guān)察、研究，找尋它變化發(fā)展的規(guī)律，預(yù)測(cè)它將來(lái)的走勢(shì)就是時(shí)間序列分析

12.模糊綜合評(píng)價(jià)模型

模糊綜合評(píng)判方法，是一種運(yùn)用模糊數(shù)學(xué)原理分析和評(píng)價(jià)具有“模糊性”的事物的系統(tǒng)分析方法。它是一種以模糊推理為主的定性與定量相結(jié)合、精確與非精確相統(tǒng)一的分析評(píng)價(jià)方法。由于這種方法在處理各種難以用精確數(shù)學(xué)方法描述的復(fù)雜系統(tǒng)問(wèn)題方面所表現(xiàn)出的獨(dú)特的優(yōu)越性，近年來(lái)已在許多學(xué)科領(lǐng)域中得到了十分廣泛的應(yīng)用。

13.層次分析模型

層次分析法(簡(jiǎn)稱(chēng)AHP方法)，是一種定性與定量相結(jié)合的決策分析方法。它是一種將決策者對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的決策思維過(guò)程模型化、數(shù)量化的過(guò)程。應(yīng)用這種方法，決策者通過(guò)將復(fù)雜問(wèn)題分解為若干層次和若干因素，在各因素之間進(jìn)行簡(jiǎn)單的比較和計(jì)算，就可以得出不同方案的權(quán)重，為最佳方案的選擇提供依據(jù)。

14.模糊數(shù)學(xué)方法

模糊數(shù)學(xué)方法，是一種研究和處理模糊現(xiàn)象的新型數(shù)學(xué)方法。這一方法，是由美國(guó)自動(dòng)控制專(zhuān)家查德(L.A.Zadeh)于1965年首次提出來(lái)的。在經(jīng)典集合論中，一個(gè)元素對(duì)于一個(gè)集合，要么屬于，要么不屬于，二者必居其一，絕不允許模棱兩可。這一要求就從根本上限定了以經(jīng)典集合論為基礎(chǔ)的常規(guī)數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用范圍，它只能用來(lái)研究那些具有絕對(duì)明確的界限的事物和現(xiàn)象。但是，在現(xiàn)實(shí)世界中，并非所有事物和現(xiàn)象都具有明確的界限。譬如，“高與矮”，“好與壞”，“美與丑”，……，這樣一些概念之間就沒(méi)有絕對(duì)分明的界限。嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，這些概念就是沒(méi)有絕對(duì)的外延，這些概念被稱(chēng)之為模糊概念，它們不能用一般集合論來(lái)描述，而需要用模糊集合論去描述。

15.模擬退火算法

模擬退火算法來(lái)源于材料的熱處理原理，將金屬加溫至充分高，再讓其徐徐冷卻，加溫時(shí)，固體內(nèi)部粒子隨溫升變?yōu)闊o(wú)序狀，內(nèi)能增大，而徐徐冷卻時(shí)粒子漸趨有序，在每個(gè)溫度都達(dá)到平衡態(tài)，最后在常溫時(shí)達(dá)到基態(tài)，內(nèi)能減為最小。根據(jù)Metropolis準(zhǔn)則，粒子在溫度T時(shí)趨于平衡的概率為e-ΔE/(kT)，其中E為溫度T時(shí)的內(nèi)能，ΔE為其改變量，k為Boltzmann常數(shù)。用固體退火模擬組合優(yōu)化問(wèn)題，將內(nèi)能E模擬為目標(biāo)函數(shù)值f，溫度T演化成控制參數(shù)t，即得到解組合優(yōu)化問(wèn)題的模擬退火算法：由初始解i和控制參數(shù)初值t開(kāi)始，對(duì)當(dāng)前解重復(fù)“產(chǎn)生新解→計(jì)算目標(biāo)函數(shù)差→接受或舍棄”的迭代，并逐步衰減t值，算法終止時(shí)的當(dāng)前解即為所得近似最優(yōu)解，這是基于蒙特卡羅迭代求解法的一種啟發(fā)式隨機(jī)搜索過(guò)程。退火過(guò)程由冷卻進(jìn)度表(Cooling Schedule)控制，包括控制參數(shù)的初值t及其衰減因子Δt、每個(gè)t值時(shí)的迭代次數(shù)L和停止條件S。

總結(jié)

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