題意 ：

• 給兩個圓，分別代表得分區域和獎勵區域，邊長為a的正方形以均等概率扔到平面后繞中心旋轉，保證一定會有某時刻正方形完全在得分區域內。
• 如果某時刻正方形完全落在區域內，獲得相應分數，求正方形 既獲得得分又獲得獎勵的概率 比 正方形僅能獲得得分 的比率。

思路 ：

• 要使正方形有可能被一個圓完全包含，它的中心軌跡一定是一個圓，所以本題就轉化成了計算兩圓相交面積 與 第一個圓面積 的比值。
• 一些細節，數據中獎勵區域不一定能完全包含正方形，以及兩圓位置的不同情況（相離，包含，相交）要分類討論。
• 計算方法 ：首先考慮兩圓的位置關系，若為相交，用余弦定理求得三角形圓心處的角度，然后計算兩個扇形的面積，再減去兩個三角形的面積（即兩對角線互相垂直的四邊形面積），得到的恰好就是兩圓相交部分的面積。

1.兩圓相離：

判定條件：兩圓半徑之和大于等于圓心距

計算方法：顯然相交面積為0

2.兩圓相含：兩圓半徑之差小于等于圓心距

計算方法：顯然相交面積為較小圓的面積

3.兩圓相交：以上兩種情況以外

計算中使用到的公式 ：

• cos是余弦函數，acos是求反余弦
• 余弦定理 $cos?=\frac{a^2+b^2?c^2}{2ab}$
• 扇形面積（利用角度） $S=\frac{1}{2}\alpha r^2$
• 兩對角線互相垂直的四邊形面積 $S=\frac{1}{2}\times 積$

#include <iostream> #include <algorithm> #include <cmath> #include <cstring> #include <vector> #include <unordered_map> #include <unordered_set> #include <set> #include <map> #define endl '\n' #define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0) using namespace std; const double pi = acos(-1); typedef long long ll;struct point {double x, y; };double calc(point a, double r1, point b, double r2) {double dist = sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));if (r1 + r2 <= dist) return 0;if (r1 > r2) swap(r1, r2);if (r2 - r1 >= dist) return pi * r1 * r1;double ang1 = acos((r1 * r1 + dist * dist - r2 * r2) / (2.0 * r1 * dist));double ang2 = acos((r2 * r2 + dist * dist - r1 * r1) / (2.0 * r2 * dist));return ang1 * r1 * r1 + ang2 * r2 * r2 - dist * r1 * sin(ang1); }int main() {int T;scanf("%d", &T);while (T -- ){double r1, x1, y1, r2, x2, y2, aa;scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf%lf", &r1, &x1, &y1, &r2, &x2, &y2, &aa);if (r1 * r1 - aa * aa / 4 <= 0 || r2 * r2 - aa * aa / 4 <= 0){cout << "0.000000" << endl;continue;}point a = {x1, y1}, b = {x2, y2};double r3 = sqrt(r1 * r1 - aa * aa / 4) - aa / 2, r4 = sqrt(r2 * r2 - aa * aa / 4) - aa / 2;double res = calc(a, r3, b, r4);printf("%.6lf\n", res / (pi * r3 * r3));}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Square Card 计算几何-两圆相交面积的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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