目錄

• 背包問題
• • 背包問題初始化總結(jié)
  • AcWing 2. 01背包問題
  • AcWing 3. 完全背包問題
  • AcWing 4. 多重背包問題
  • AcWing 5. 多重背包問題 II
  • AcWing 9. 分組背包問題
• 線性DP
• • AcWing 898. 數(shù)字三角形
  • AcWing 895. 最長上升子序列
  • AcWing 896. 最長上升子序列 II（貪心）
  • AcWing 897. 最長公共子序列
  • AcWing 902. 最短編輯距離
  • AcWing 899. 編輯距離
• 區(qū)間DP
• • AcWing 282. 石子合并（$min$）
• 計數(shù)類DP
• • AcWing 900. 整數(shù)劃分（完全背包求方案數(shù)，體積恰好）
• 數(shù)位統(tǒng)計DP
• • AcWing 338. 計數(shù)問題
• 狀態(tài)壓縮DP
• • AcWing 291. 蒙德里安的夢想
  • AcWing 91. 最短Hamilton路徑
• 樹形DP
• • AcWing 285. 沒有上司的舞會
• 記憶化搜索
• • AcWing 901. 滑雪

背包問題

背包問題初始化總結(jié)

總的來說就是 ：求方案數(shù)，$f[0]=1$；求最大/最小值 ：$f[0]=0$

AcWing 2. 01背包問題

#include <bits/stdc++.h> #define endl '\n' #define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0) #define lowbit(x) (x&-x) using namespace std; const double pi = acos(-1); typedef long long ll; typedef pair<int, int> PII; typedef pair<long, long> PLL;const int N = 1e3 + 10;int f[N];int main() {IOS;int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; i ++ ){int v, w;cin >> v >> w;for (int j = m; j >= v; j -- )f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);}cout << f[m] << endl;return 0; }

AcWing 3. 完全背包問題

其實(shí)就是把01背包j循環(huán)層倒過來寫啊（

#include <bits/stdc++.h> #define endl '\n' #define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0) #define lowbit(x) (x&-x) using namespace std; const double pi = acos(-1); typedef long long ll; typedef pair<int, int> PII; typedef pair<long, long> PLL;const int N = 1e3 + 10;int f[N];int main() {IOS;int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; i ++ ){int v, w;cin >> v >> w;for (int j = v; j <= m; j ++ )f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);}cout << f[m] << endl;return 0; }

AcWing 4. 多重背包問題

數(shù)據(jù)范圍非常小，暴力枚舉

#include <bits/stdc++.h> #define endl '\n' #define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0) #define lowbit(x) (x&-x) using namespace std; const double pi = acos(-1); typedef long long ll; typedef pair<int, int> PII; typedef pair<long, long> PLL;const int N = 110;int f[N];int main() {IOS;int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; i ++ ){int v, w, s;cin >> v >> w >> s;for (int j = m; j >= v; j -- )for (int k = 0; k <= s && k * v <= j; k ++ )f[j] = max(f[j], f[j - k * v] + k * w);}cout << f[m] << endl;return 0; }

AcWing 5. 多重背包問題 II

二進(jìn)制表示法 ： 把$s$拆成$log(s)$份就可以表示出0 ～$s$的所有的數(shù)，不再需要s份（s個1）
原來的復(fù)雜度是$O(N?V?S)$，現(xiàn)在是$O(N?V?log(S))$

#include <bits/stdc++.h> #define endl '\n' #define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0) #define lowbit(x) (x&-x) using namespace std; const double pi = acos(-1); typedef long long ll; typedef pair<int, int> PII; typedef pair<long, long> PLL;const int N = 2e3 + 10;struct Good {int v, w; };int f[N];int main() {IOS;int n, m;cin >> n >> m;vector<Good> goods;for (int i = 0; i < n; i ++ ){int v, w, s;cin >> v >> w >> s;for (int k = 1; k <= s; k *= 2){goods.push_back({k * v, k * w});s -= k;}if (s > 0) goods.push_back({s * v, s * w});}// 得到了我們需要的物品組 ：goods，問題轉(zhuǎn)化為了01背包for (auto good : goods)for (int j = m; j >= good.v; j -- )f[j] = max(f[j], f[j - good.v] + good.w);cout << f[m] << endl;return 0; }

AcWing 9. 分組背包問題

/*for (int i = 0; i < n; i ++ )for (int j = m; j >= 0; j -- )f[j] = max(f[j], f[j - v[0]] + w[0], f[j - v[1]] + w[1], ..., f[j - v[s - 1]] + w[s - 1]);即 f[i][j] 表示只考慮前i組物品，體積至多為j的選法集合每個組內(nèi)有s + 1種決策即 每個組內(nèi)選1個（包含0個的情況）與其他組選出來的進(jìn)行01背包*/#include <bits/stdc++.h> #define endl '\n' #define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0) #define lowbit(x) (x&-x) using namespace std; const double pi = acos(-1); typedef long long ll; typedef pair<int, int> PII; typedef pair<long, long> PLL;const int N = 110;int v[N], w[N], f[N];int main() {IOS;int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; i ++ ){int s;cin >> s;for (int j = 0; j < s; j ++ ) cin >> v[j] >> w[j];for (int j = m; j >= 0; j -- )for (int k = 0; k < s; k ++ )if (j >= v[k]) // 可以選這個f[j] = max(f[j], f[j - v[k]] + w[k]);}cout << f[m] << endl;return 0; }

線性DP

AcWing 898. 數(shù)字三角形

• 路線問題，一般狀態(tài)表示可以用坐標(biāo)
• $f[i][j]$表示從底向上走到$(i,j)$的所有路線的集合，屬性是$max$
• $f[i][j]=max(f[i+1][j],f[i+1][j+1])+w[i][j]$

#include <iostream> #include <algorithm> #include <cmath> #include <cstring> #include <string> #include <vector> #include <unordered_map> #include <unordered_set> #include <set> #include <map> #include <stack> #include <queue> #include <deque> #include <ctime> #define endl '\n' #define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0) #define lowbit(x) (x&-x) using namespace std; const double pi = acos(-1); typedef long long ll; typedef pair<int, int> PII; typedef pair<long, long> PLL;const int N = 510;int w[N][N], f[N][N];int main() {int n;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i ++ )for (int j = 1; j <= i; j ++ )cin >> w[i][j];for (int i = 1; i <= n; i ++ ) f[n][i] = w[n][i];for (int i = n - 1; i ; i -- )for (int j = 1; j <= i; j ++ )f[i][j] = max(f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1]) + w[i][j];cout << f[1][1] << endl;return 0; }

AcWing 895. 最長上升子序列

• $f[i][j]$表示所有以第i個數(shù)結(jié)尾的上升子序列，屬性是$max$

#include <iostream> #include <algorithm> #include <cmath> #include <cstring> #include <string> #include <vector> #include <unordered_map> #include <unordered_set> #include <set> #include <map> #include <stack> #include <queue> #include <deque> #include <ctime> #define endl '\n' #define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0) #define lowbit(x) (x&-x) using namespace std; const double pi = acos(-1); typedef long long ll; typedef pair<int, int> PII; typedef pair<long, long> PLL;const int N = 1010;int a[N], f[N];int main() {int n;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];for (int i = 1; i <= n; i ++ ){f[i] = 1;for (int j = 1; j < i; j ++ )if (a[j] < a[i])f[i] = max(f[i], f[j] + 1);}int res = 0;for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res = max(res, f[i]);cout << res << endl;return 0; }

AcWing 896. 最長上升子序列 II（貪心）

• 相同長度的上升子序列中結(jié)尾的數(shù)字越小越好，所以我們想到記錄不同長度下同一長度的上升子序列結(jié)尾數(shù)字的最小值。
• 會發(fā)現(xiàn)，這個序列是單調(diào)遞增的。每個插入一個新的數(shù)，可以二分找到小于它的數(shù)中最大的數(shù)，即$q_j<a_i$，又有$q_{j+1}>=a_i$，把$a_i$接在$q_j$后面，再用$a_i$代替$q_{j+1}$

#include <iostream> #include <algorithm> #include <cmath> #include <cstring> #include <string> #include <vector> #include <unordered_map> #include <unordered_set> #include <set> #include <map> #include <stack> #include <queue> #include <deque> #include <ctime> #define endl '\n' #define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0) #define lowbit(x) (x&-x) using namespace std; const double pi = acos(-1); typedef long long ll; typedef pair<int, int> PII; typedef pair<long, long> PLL;const int N = 1e5 + 10;int a[N], q[N];int main() {int n;cin >> n;for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> a[i];int len = 0; // 當(dāng)前最大長度 / q中元素個數(shù)q[0] = -2e9; // 二分的邊界問題，為了保證數(shù)組中小于某個數(shù)的最大的數(shù)一定存在，q[0]是一個哨兵for (int i = 0; i < n; i ++ ){int l = 0, r = len;while (l < r){// 找比a[i]小的中最大的int mid = l + r + 1 >> 1;if (q[mid] < a[i]) l = mid;else r = mid - 1;}len = max(len, r + 1);q[r + 1] = a[i];}cout << len << endl;return 0; }

AcWing 897. 最長公共子序列

• $f[i][j]$表示$A[1,i],B[1,j]$中公共子序列的集合，屬性是公共子序列最長的長度，即求$max$。
• 根據(jù)$a[i],b[j]$是否在公共子序列中可以將$f[i][j]$劃分成$00,10,01,11$，分別對應(yīng)$f[i?1][j?1],f[i][j?1],f[i?1][j],f[i?1][j?1]+1$
• 其實(shí)中間兩種情況用這兩個代替是有重復(fù)的，因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$f[i?1][j]$本身包含$s[j]$本身在公共子序列中和不在公共子序列中兩種情況，但由于求最大值，所以重復(fù)沒關(guān)系，且$s[j]$本身不是公共子序列的情況也包含在$f[i][j]$中
• $f[i?1][j?1]$包含在后兩者的情況中，所以可以省略。

#include <iostream> #include <algorithm> #include <cmath> #include <cstring> #include <string> #include <vector> #include <unordered_map> #include <unordered_set> #include <set> #include <map> #include <stack> #include <queue> #include <deque> #include <ctime> #define endl '\n' #define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0) #define lowbit(x) (x&-x) using namespace std; const double pi = acos(-1); typedef long long ll; typedef pair<int, int> PII; typedef pair<long, long> PLL;const int N = 1010;char a[N], b[N]; int f[N][N];int main() {int n, m;cin >> n >> m >> a + 1 >> b + 1;for (int i = 1; i <= n; i ++ )for (int j = 1; j <= m; j ++ ){f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);if (a[i] == b[j])f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);}cout << f[n][m] << endl;return 0; }

AcWing 902. 最短編輯距離

• $f[i][j]$表示所有將$a[1,i]$變成$b[1,j]$的操作方式，屬性為$min$
• “增”“刪”“改”分別對應(yīng)$f[i][j]=min(f[i?1][j]+1,f[i][j?1]+1,f[i?1][j?1]+1/0)$

#include <iostream> #include <algorithm> #include <cmath> #include <cstring> #include <string> #include <vector> #include <unordered_map> #include <unordered_set> #include <set> #include <map> #include <stack> #include <queue> #include <deque> #include <ctime> #define endl '\n' #define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0) #define lowbit(x) (x&-x) using namespace std; const double pi = acos(-1); typedef long long ll; typedef pair<int, int> PII; typedef pair<long, long> PLL;const int N = 1010;char a[N], b[N]; int f[N][N];int main() {int n, m;cin >> n >> a + 1 >> m >> b + 1;for (int i = 0; i <= n; i ++ ) f[i][0] = i;for (int i = 0; i <= m; i ++ ) f[0][i] = i;for (int i = 1; i <= n; i ++ )for (int j = 1; j <= m; j ++ ){f[i][j] = min(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + 1;if (a[i] == b[j]) f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1]);else f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);}cout << f[n][m] << endl;return 0; }

AcWing 899. 編輯距離

注意頭文件。

#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstring> #include <string> #include <cmath> #define endl '\n' #define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0) #define lowbit(x) (x&-x) using namespace std; const double pi = acos(-1); typedef long long ll; typedef pair<int, int> PII; typedef pair<long, long> PLL;const int N = 15, M = 1010;char str[M][N]; int f[N][N];int edit_distance(char a[], char b[]) {int lena = strlen(a + 1), lenb = strlen(b + 1);for (int i = 0; i <= lena; i ++ ) f[i][0] = i;for (int i = 0; i <= lenb; i ++ ) f[0][i] = i;for (int i = 1; i <= lena; i ++ )for (int j = 1; j <= lenb; j ++ ){f[i][j] = min(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + 1;if (a[i] == b[j]) f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1]);else f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);}return f[lena][lenb]; }int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> str[i] + 1;while (m -- ){char s[N];int limit;cin >> s + 1 >> limit;int res = 0;for (int i = 0; i < n; i ++ )if (edit_distance(s, str[i]) <= limit) res ++ ;cout << res << endl;}return 0; }

區(qū)間DP

AcWing 282. 石子合并（$min$）

• 每次合并相鄰兩堆，因此不是貪心問題。
• 所有不同的合并順序顯然有$(n?1)!$（因?yàn)槊看蜗噜弮蓚€）。
• 相鄰，因此最后必然是將左一堆和右一堆合并的情形，因此聯(lián)想到$f[i,j]$表示將區(qū)間$[i,j]$合并成一堆的方案的集合，屬性是$min$，而分類依據(jù)就是兩堆的分界點(diǎn)，由于左右兩堆分別獨(dú)立，要總的最小，就分別取最小。這樣$f[i,j]$一個狀態(tài)就可以表示$(j?i)!$個方案。
• $O(n^2?k)==O(n^3)$
• 由于求最小值，因此注意初始化。
• 要枚舉不同長度的子序列（連續(xù)），可以第一層枚舉長度。
• 狀態(tài)計算 ：i < j；i = j時，f[i][i] = 0（合并一堆石子代價為0）

#include <iostream> #include <algorithm> #include <cmath> #include <cstring> #include <string> #include <vector> #include <unordered_map> #include <unordered_set> #include <set> #include <map> #include <stack> #include <queue> #include <deque> #include <ctime> #include <sstream> #define endl '\n' #define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0) #define lowbit(x) (x&-x) using namespace std; const double pi = acos(-1); typedef long long ll; typedef pair<int, int> PII; typedef pair<long, long> PLL;const int N = 310;int w[N]; int f[N][N];int main() {int n;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> w[i], w[i] += w[i - 1];for (int len = 2; len <= n; len ++ ){for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i ++ ){int j = i + len - 1;f[i][j] = 2e9;for (int k = i + 1; k <= j; k ++ ){f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k - 1] + f[k][j] + w[j] - w[i - 1]);}}}cout << f[1][n] << endl;return 0; }

• 記憶化搜索 ：
  

計數(shù)類DP

AcWing 900. 整數(shù)劃分（完全背包求方案數(shù)，體積恰好）

• 由于不考慮組合的數(shù)的順序，因此直接就是完全背包問題了。從1-i中選，體積恰好為j的方案集合。
• $f[i,j]=f[i?1,j]+f[i?1,j?i]+f[i?1,j?2i]+...$
• $f[i,j?i]=f[i?1,j?i]+f[i?1,j?2i]+...$
• 因此，$f[i,j]=f[i,j?i]+f[i?1,j]$，即，$f[j]=f[j?i]+f[j]$，且體積層從小到大循環(huán)。
• 神奇的是雖然這題結(jié)果可能很大，需要取模，但不需要long long。

#include <iostream> #include <algorithm> #include <cmath> #include <cstring> #include <string> #include <vector> #include <unordered_map> #include <unordered_set> #include <set> #include <map> #include <stack> #include <queue> #include <deque> #include <ctime> #include <sstream> #define endl '\n' #define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0) #define lowbit(x) (x&-x) using namespace std; const double pi = acos(-1); typedef long long ll; typedef pair<int, int> PII; typedef pair<long, long> PLL;const int N = 1e3 + 10, mod = 1e9 + 7;int f[N];int main() {int n;cin >> n;f[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i ++ )for (int j = i; j <= n; j ++ )f[j] = (f[j] + f[j - i]) % mod;cout << f[n] << endl;return 0; }

數(shù)位統(tǒng)計DP

AcWing 338. 計數(shù)問題

#include <iostream> #include <algorithm> #include <cmath>using namespace std;int get(int n) { // 求數(shù)n的位數(shù)int res = 0;while (n) res ++, n /= 10;return res; }int count(int n, int i) { // 求從1到數(shù)n中數(shù)i出現(xiàn)的次數(shù)int res = 0, dgt = get(n);for (int j = 1; j <= dgt; ++ j) {/* p為當(dāng)前遍歷位次(第j位)的數(shù)大小 <10^(右邊的數(shù)的位數(shù))>，l為第j位的左邊的數(shù)，r為右邊的數(shù)，dj為第j位上的數(shù) */int p = pow(10, dgt - j), l = n / p / 10, r = n % p, dj = n / p % 10;// ps:下文的xxx、yyy均只為使讀者眼熟，并不嚴(yán)格只是三位數(shù)啊~ 然后后續(xù)的...就代表省略的位數(shù)啦~/* 求要選的數(shù)在i的左邊的數(shù)小于l的情況： （即視頻中的xxx1yyy中的xxx的選法） --->1)、當(dāng)i不為0時 xxx : 0...0 ~ l - 1, 即 l * (右邊的數(shù)的位數(shù)) == l * p 種選法2)、當(dāng)1位0時 由于不能有前導(dǎo)零 故xxx: 0....1 ~ l - 1, 即 (l-1) * (右邊的數(shù)的位數(shù)) == (l-1) * p 種選法 */if (i) res += l * p;else res += (l - 1) * p;/* 求要選的數(shù)在i的左邊的數(shù)等于l的情況：(即視頻中的xxx == l 時)（即視頻中的xxx1yyy中的yyy的選法）--->1)、i > dj時 0種選法2)、i == dj時 yyy : 0...0 ~ r 即 r + 1 種選法3)、i < dj時 yyy : 0...0 ~ 9...9 即 10^(右邊的數(shù)的位數(shù)) == p 種選法 */if (i == dj) res += r + 1;if (i < dj) res += p;}return res; // 返回結(jié)果 }int main() {int a, b;while (cin >> a >> b, a) { // 輸入處理，直到輸入為0停止if (a > b) swap(a, b); // 預(yù)處理-->讓a為較小值，b為較大值for (int i = 0; i <= 9; ++ i) cout << count(b, i) - count(a - 1, i) << ' '; // 輸出每一位數(shù)字(0 ~ 9)分別在[a,b]中出現(xiàn)的次數(shù)<利用前綴和思想：[l,r]的和=s[r] - s[l - 1]>cout << endl; //換行}return 0; // 慣例：結(jié)束快樂~ }

狀態(tài)壓縮DP

AcWing 291. 蒙德里安的夢想

• 放方塊時，先放橫著的再放豎著的，總方案數(shù)等于只放橫著的方塊的合法方案數(shù)。
• 合法方案數(shù) 即 所有剩余位置能用豎著的方塊填滿。從每列來看，每列內(nèi)部所有連續(xù)的空著的方塊是偶數(shù)個。
• 用一個$N$位的二進(jìn)制數(shù)，每一位表示一個物品，0/1表示不同狀態(tài)，因此可以用0~$2^n?1$
  中的數(shù)來枚舉全部的狀態(tài)。
• $f[i,j]$表示已將前$i?1$列擺好，且從第$i?1$列伸出到第$i$列的狀態(tài)是$j$的所有方案，其中$j$是一個二進(jìn)制數(shù)，用來表示哪一行的方塊是橫著放的，其位數(shù)和棋盤行數(shù)一致。

#include <iostream> #include <vector> #include <cstring>using namespace std;const int N = 12, M = 1 << N; // M = 2^Ntypedef long long LL;LL f[N][M]; // 第一維表示列， 第二維表示所有可能的狀態(tài)bool st[M]; // 存儲每種狀態(tài)是否有奇數(shù)個連續(xù)的0， 如果奇數(shù)個0則是無效狀態(tài)，如果是偶數(shù)個零置為trueint n, m;// vector<int> state[M]; // 二維數(shù)組記錄合法的狀態(tài) vector<vector<int>> state(M); // 兩種寫法等價 ： 二維數(shù)組int main() {while (cin >> n >> m, n || m){// 第一部分 ： 預(yù)處理1// 對于每種狀態(tài)，先預(yù)處理每列不能有奇數(shù)個連續(xù)的0for (int i = 0; i < 1 << n; i ++ ) // i -> [0, 2 ^ n - 1]{int cnt = 0; // 記錄連續(xù)的0的個數(shù)bool isValid = true; // 某種狀態(tài)沒有奇數(shù)個連續(xù)的0則為truefor (int j = 0; j < n; j ++ ) // 遍歷這一列， 從上到下{if (i >> j & 1) // i >> j位運(yùn)算，表示i(i在此處是一種狀態(tài))的二進(jìn)制數(shù)的第j位，如果這第j位是1，則進(jìn)入if{if (cnt & 1) // 如果這一位是1，看前面連續(xù)的0的個數(shù)，如果是奇數(shù)(cnt & 1 為真)則不合法{isValid = false;break;}cnt = 0; // 既然該位是1，則到這里0就斷了， cnt清零}else cnt ++ ;}if (cnt & 1) isValid = false; // 最下面的那一段判斷連續(xù)的0的個數(shù)st[i] = isValid; // 狀態(tài)i是否有奇數(shù)個連續(xù)的0的情況，輸入到st數(shù)組中}// 第二部分 ： 預(yù)處理2// 經(jīng)過上面每種狀態(tài) 連續(xù)0的判斷，已經(jīng)篩掉一些狀態(tài)// 下面來看進(jìn)一步的判斷 ： 看第i - 2列滲出來的和第i - 1列伸出去的是否沖突for (int j = 0; j < 1 << n; j ++ ) // 對于第i列的所有狀態(tài){state[j].clear(); // 清空上次操作遺留的狀態(tài)，防止影響本次狀態(tài)for (int k = 0; k < 1 << n; k ++ ) // 對于第i - 1列的所有狀態(tài){if ((j & k) == 0 && st[j | k]) // 第i - 2列和第i - 1列伸出來的不沖突（不在同一行）// (j & k) == 0 表示j和k沒有一位同時為1，即沒有一列有沖突// 解釋一下st[j | k] ：// 已經(jīng)知道st[]數(shù)組表示的是這一列沒有奇數(shù)個連續(xù)的0的情況// 我們要考慮的是第i - 1列（第i - 1列是這里的主體）中從第i - 2列中橫插過來的和第i - 1列橫插到第i列的// 比如第i - 2列插到第i - 1列的是k = 10101， 第i - 1列插去第i列的是 j = 01000// 那么合在第i - 1列，到底有多少個1呢 ？自然想到的是這兩個操作共同的結(jié)果 ：兩個狀態(tài)或（都是0才是0）。 j | k == 01000 | 10101 == 11101// 這個j | k就是當(dāng)前第i - 1列的到底有幾個1，即哪幾行是橫著放格子的state[j].push_back(k);// j 表示第i列"真正"可行的狀態(tài)， 如果第i - 1列的狀態(tài)k和j不沖突則壓入state數(shù)組中的第j行// "真正"可行是指 ： 既沒有前后兩列伸進(jìn)伸出的沖突；又沒有奇數(shù)個連續(xù)的0}}// 第三部分 ：dp開始memset(f, 0, sizeof f); // 全部初始化為0，因?yàn)槭沁B續(xù)讀入，這里是一個清空操作f[0][0] = 1; // 回憶狀態(tài)表示的定義 ： 前i - 1列都已經(jīng)擺好，且從第-1列第0列伸出來的狀態(tài)為0的方案數(shù)// 首先這里沒有第-1列，最少也是第0列。其實(shí)，沒有伸出來的，就是沒有橫著擺的，即這個第0列只有豎著擺的這1種狀態(tài)// 由于前i-1列已經(jīng)放好 的 這個定義，所以是從第一行開始而不是第零行for (int i = 1; i <= m; i ++ ) // 遍歷每一列for (int j = 0; j < 1 << n; j ++ ) // 遍歷當(dāng)前列（第i列）的所有狀態(tài)for (auto k : state[j]) // 遍歷第i - 1列的狀態(tài)k，如果"真正"可行，就轉(zhuǎn)移f[i][j] += f[i - 1][k]; // 當(dāng)前列的方案數(shù)就等于之前的第i - 1列所有狀態(tài)k的累加// 最后答案是什么呢？// f[m][0]表示前m - 1列都已經(jīng)處理完，并且第m - 1列沒有伸出來的方案數(shù)// 即整個棋盤處理完的方案數(shù)cout << f[m][0] << endl;} }

AcWing 91. 最短Hamilton路徑

• $Hamilton$路徑 ：把每個點(diǎn)經(jīng)過一次且只經(jīng)過一次
• 從0走到$n?1$ ：首先確定走到順序$n!$，計算路徑長度 ：$n!?n$
• $f[i,j]$表示已經(jīng)走過的所有點(diǎn)是$i$，已經(jīng)走到了$j$點(diǎn)的所有路徑。
• 根據(jù)倒數(shù)第二個點(diǎn)是什么進(jìn)行分類。

#include <iostream> #include <cstring>using namespace std;const int N = 20, M = 1 << N;int n; int f[M][N]; int w[N][N];int main() {cin >> n;for (int i = 0; i < n; i ++ )for (int j = 0; j < n; j ++ )cin >> w[i][j];memset(f, 0x3f, sizeof f);f[1][0] = 0;for (int i = 0; i < 1 << n; i ++ )for (int j = 0; j < n; j ++ )if (i >> j & 1)for (int k = 0; k < n; k ++ )if (i - (1 << j) >> k & 1)f[i][j] = min(f[i][j], f[i - (1 << j)][k] + w[k][j]);cout << f[(1 << n) - 1][n - 1] << endl;//位運(yùn)算的優(yōu)先級低于'+'-'所以有必要的情況下要打括號return 0; }

樹形DP

AcWing 285. 沒有上司的舞會

• 翻譯 ：選了某個節(jié)點(diǎn)就不能選擇它的父節(jié)點(diǎn)和子節(jié)點(diǎn)，求最大權(quán)值和。

#include <iostream> #include <cstring>using namespace std;const int N = 6010;int n; int e[N], ne[N], h[N], idx; int w[N]; int f[N][2]; bool st[N]; // 是否有父節(jié)點(diǎn)void add(int a, int b) {e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ; }void dfs(int u) {// f[u][0] = 0;f[u][1] = w[u];for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) // ~i == i != -1{int j = e[i];dfs(j);// 兩種情況都是 +=f[u][1] += f[j][0];f[u][0] += max(f[j][1], f[j][0]);} }int main() {cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> w[i];memset(h, -1, sizeof h); // 不初始化圖見祖宗for (int i = 1; i <= n - 1; i ++ ){int a, b;cin >> a >> b;add(b, a);st[a] = true;}int root = 1;while (st[root]) ++ root;dfs(root);cout << max(f[root][0], f[root][1]) << endl;return 0; }

記憶化搜索

AcWing 901. 滑雪

• $f[i,j]$表示所有從$(i,j)$開始滑的路徑

#include <iostream> #include <cstring>using namespace std;const int N = 310;int n, m; int h[N][N]; int f[N][N];int dx[4] = {1, 0, -1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};int dp(int x, int y) {int &v = f[x][y]; // 使用"&"，相當(dāng)于下面每次用到v其實(shí)可以換成f[x][y]if (v != -1) return v; // 記憶化搜索v = 1;for (int i = 0; i < 4; i ++ ){int a = x + dx[i], b = y + dy[i];if (a >= 0 && a < n && b >= 0 && b < m && h[a][b] < h[x][y])v = max(v, dp(a, b) + 1);}return v; }int main() {cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; i ++ )for (int j = 0; j < m; j ++ )cin >> h[i][j];memset(f, -1, sizeof f);int res = 0;for (int i = 0; i < n; i ++ )for (int j =0 ; j < m; j ++ )res = max(res, dp(i, j));cout << res << endl;return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划DP题单 AcWing算法基础课 （详解）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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