新的角度看二分

• 二分就是將數組分為兩段
• 因此，問題的最終目標是找出藍紅邊界

樸素算法

• 紅色指針一開始指向最右超出范圍處，隨后不斷向左移動，直到找到藍紅邊界；或者藍色指針…
• 時間復雜度$O(n)$

二分查找

• 紅藍指針的移動其實代表著紅藍區域的拓展。那么，有什么更快拓展的方式呢？由于數組本身有序…便可以快速拓展紅色 或 藍色區域
• 數組下標有效范圍$[0,n?1]$，因此，初始時l = -1, r = n;
• 循環的結束條件是l + 1 != r，因為l指向藍色邊界最右邊，r指向紅色邊界最左邊，當l + 1 == r時整個數組已經由灰色未知被劃分完畢
• 如果m是紅色區域，直接r = m；同理…
• 最后結果返回l還是r要看情況

細節1.為什么l的初始值為-1，r的初始值為n

• 假如最終整個數組都該是紅色區域，如果l初始化為0，l一開始就處在紅色區域內，這會造成錯誤；同理…

細節2.m是否始終處于[0,n)以內

• 只有處在這個區間以內，m才是有意義的
• 先看m的下界，由于m = (l + r) / 2（向下），因此如果我們想讓m盡可能小，就要l和r盡可能小，l的最小值是初始值-1，r如果能進入循環體，最小值是1（不是0），因此m最小值為0
• 再看m上界，同理，r的最大值為n，l如果要進入循環體，最大值為n - 2，因此m最大值為n - 1

細節3.更新指針時，能不能寫成l = m + 1或者r = m - 1

• 如果剛好m指向藍色區域的最后一個位置，l如果變為m + 1，就錯了；同理…

細節4.會不會陷入死循環

• 分別考慮l + 1 == r l + 2 == r l + 3 == r的情況
• l + 1 == r，退出循環
• l + 2 == r，也就是它們之間隔一個元素，當進入循環體時，m就是它們之間隔著的那個元素，接下來，要么將l設置成m，要么將r設置成m，也就是說，在循環體結束時，l的下一個元素一定是r，會回歸到第一種情況并退出循環體
• l + 3 == r，會回歸到第二種情況或者回歸到第一種情況

例子 與 c++庫函數

• lower_bound對應大于等于
• upper_bound對應大于

一般流程

• 后處理指的是 例如 只有藍色區域/紅色區域的返回值處理問題（需要特判）等

如果沒有藍色區域或者紅色區域

• 那么l或者r會不在有效范圍內
• 最后結果特判，l的初始值為-1，r的初始值為n

浮點數的二分

• 題目 ：通過二分查找的方式計算$\sqrt{2}$，要求誤差小于$10^{?6}$
• 退出循環的條件為r - l <= 1e-8
• 要求誤差小于$10^{?6}$，相當于 結果保留6位小數；這樣，循環退出的條件是$10^{?8}$，而輸出則是六位小數

#include <iostream> #include <iomanip> using namespace std; int main() {double l = -10000, r = 10000;while (r - l > 1e-8){double mid = (l + r) / 2;if (mid * mid >= 2) r = mid;else l = mid;} // printf("%.6lf\n", l);cout << fixed << setprecision(6) << l << endl;return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的90%的程序员都写错的算法-二分查找万能模版的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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