1. 貝塞爾曲線

1.1 一階表達(dá)式B(u) = (1-u)*P0 + u*P1，0 <= u?<= 1。隨著u的增大，插值點(diǎn)慢慢從P0點(diǎn)擬合到P1點(diǎn)。

1.2 二階表達(dá)式B(u) = (1-u)^2 * P0 + 2u(1-u) * P1 + u^2 * P2，0 <= u?<= 1。同理，隨著u的增大，插值點(diǎn)慢慢從P0點(diǎn)擬合到P2點(diǎn)。

????

?1.3 三階表達(dá)式B(u) = (1-u)^3 * P0 + 3u(1-u)^2 * P1 + 3u^2 * (1-u)P2 + u^3 * P3，0 <= u?<= 1。

# 二階，取u=0.5時(shí)得到的點(diǎn)替代三點(diǎn)中的中間點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)路徑平滑 prune_x = [] prune_y = [] prune_z = [] for i in range(len(x)):if(i ==0 or i== len(x)-1):prune_x.append(x[i])prune_y.append(y[i])prune_z.append(z[i])else:prune_x.append(0.25*x[i-1] + 0.5*x[i] + 0.25*x[i+1])prune_y.append(0.25*y[i-1] + 0.5*y[i] + 0.25*y[i+1])prune_z.append(0.25*z[i-1] + 0.5*z[i] + 0.25*z[i+1])

2. B樣條曲線

擬合后的曲線表達(dá)式為，其中di表示需要被擬合的曲線坐標(biāo)點(diǎn)，Ni,k(u)表示B樣條曲線的基函數(shù)，遞推公式如下圖；k表示階數(shù)；u是個(gè)自變量，一般為[0, 1]區(qū)間。

其中ui來(lái)自于集合U，分為均勻集合(如[0, 1/4, 2/4, 3/4, 1])和準(zhǔn)均勻集合(如[0, 0, 0, 1/4, 2/4, 3/4, 1,? 1, 1])，準(zhǔn)均勻集合在集合開始和結(jié)尾有一定的重復(fù)度，重復(fù)次數(shù)取決于最終采用的階數(shù)，如果是2階，那么重復(fù)兩次。

def prune(self, x, y, z, k):# n表示曲線的點(diǎn)數(shù)減1，因?yàn)橄聵?biāo)從0開始；也表示B樣條的基函數(shù)要計(jì)算到nn = len(x) - 1# u_base表示準(zhǔn)均勻集合的分母u_base = n + 1 - k# U表示準(zhǔn)均勻集合，重復(fù)k階個(gè)起始點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)U = []for i in range(k):U.append(0)u_basic = 1.0/u_basefor i in range(u_base+1):U.append(i * u_basic)for i in range(k):U.append(1)prune_x = []prune_y = []prune_z = []# u是自變量，控制了樣條基函數(shù)，這邊設(shè)置間隔為0.02u = 0.0while u <= 1.0:tmp_x = 0tmp_y = 0tmp_z = 0# 累加各個(gè)原始點(diǎn)和樣條基函數(shù)的乘積for i in range(len(x)):Nik_u = self.B_spline(i, u, k, U)tmp_x += x[i] * Nik_utmp_y += y[i] * Nik_utmp_z += z[i] * Nik_u# 計(jì)算完一組，就放入擬合曲線的集合中prune_x.append(tmp_x)prune_y.append(tmp_y)prune_z.append(tmp_z)u += 0.02return prune_x, prune_y, prune_z# 樣條基函數(shù)的遞歸計(jì)算def B_spline(self, i, u, k, U):Nik_u = 0.0if k==0:if u >= U[i] and u < U[i+1]:Nik_u = 1.0else:base1 = U[i+k] - U[i]base2 = U[i+k+1] - U[i+1]if base1 == 0.0:base1 = 1.0if base2 == 0.0:base2 = 1.0Nik_u = (u - U[i]) / base1 * self.B_spline(i, u, k-1, U) + (U[i+k+1] - u) / base2 * self.B_spline(i+1, u, k-1, U)return Nik_u

擬合結(jié)果如下圖，紅色是原先存在拐點(diǎn)的路徑，藍(lán)色是使用B樣條2階擬合的路徑。

總結(jié)

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