垂線段最短問題小結

垂線段最短，是所有年級同學必須掌握的基本歐式幾何基礎定理。

一、定理:

直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.

證明如下：

作點P關于直線AB的對稱點P'，連接CP'，DP'.

易知CP=CP'，DP=DP'

根據連點之間線段最短可得，

PP'≤CP+CP',即2PD≤2PC.

所以PD≤PC.

二、定理的應用

(一)求線段最值問題中的應用

1、如圖，△ABC是等邊三角形，邊長為6，點E是對稱軸AD上一點，將點E繞點C逆時針旋轉60°得到點F.求線段DF的最小值.

解：

作AC的中點G，連接EG.

易證△CDF≌△CGE.所以DF=GE.

要使DF有最小值，只需GE取最小值.

根據垂線段最短可得，當GE⊥AD時，GE最小.

此時GE=1/2AG=1/4AC=3/2.

所以DF的最小值為3/2.

反思：

本題實質上就是結合題中給出的等邊三角形，構造了一對手拉手等邊三角形。當然也可以從捆綁旋轉的角度出發，先找到點F的運動軌跡，再構造全等三角形或直接建立坐標系求出軌跡的方程，運用垂線段最短加以解決.

2、如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3.點P是BC邊的中點，點E、F分別是線段AC、AB上的動點.連接EP、EF，求EP+EF的最小值.

解：

將△ABC沿AC折疊，點B落在點N處，AN交CD于點G,

點P落在CN上的點Q處.

連接EQ，則EP=EQ.

連接FQ，過點Q作QM⊥AB于點M.

則EP+EF=EQ+EF≥QF≥QM.

易證△ADG≌△CNG.

設DG=x,則AG=4-x.

在Rt△ADG中，根據勾股定理可得,

AG2=DG2+AD2，即(4-x)2=x2+32

解得，x=7/8

即DG=7/8，AG=4-7/8=25/8.

所以sin∠GCN=sin∠DAG=7/25.

QM=CQ*sin∠GCN+CB=3/2*7/25+3=171/50.

所以EP+EF的最小值為171/50.

3、如圖，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點D是BC的中點，點E為AB上一動點． 點P沿DE--EA折線運動，在DE、EA上速度分別是每秒1和5/3個單位．設運動時間為t秒，試求t的最小值.

分析：

由題可知t=DE+EA/(5/3)=DE+3/5EA.這是一個典型的胡不歸問題.以A為頂點在AE的上方構造∠EAF，使得sin∠EAF=3/5.利用垂線段最短即可解決.

解：

過點A作BC的平行線AG，則sin∠EAG=sin∠B=3/5.

分別過點E、D作EM⊥AG，DN⊥AG垂足分別是點M、N.

易知t=DE+3/5EA=DE+EM>=DM>=DN=DP+3/5PA

當點E和點P重合時取等號.此時DN=6

所以t的最小值為6.

(二)求線段取值范圍中的應用

4、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，點D是BC邊上一個動點，連接AD，過點D作DE⊥AD交AB于點E.求線段AE的最小值.

分析：

作AE的中點F，連接FD.過點F作FG⊥BC于點G.

設AE=x,用含x的代數式表示出GF和DF，

由垂線段最短可得，GF≤DF.解不等式即可得出結果.

解：

如圖，作AE的中點F，連接FD.過點F作FG⊥BC于點G.

5、如圖，△ABC是等邊三角形，AB=4，點D，E分別在AB，AC上，(AD＜AE)，將△ADE沿DE折疊，使點A落在BC邊上的點F處.求線段AD的最小值.

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總結

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