實驗二 離散時間信號與系統的Z變換分析

一、 實驗目的

1、熟悉離散信號Z變換的原理及性質 2、熟悉常見信號的Z變換

3、了解正/反Z變換的MATLAB實現方法

4、了解離散信號的Z變換與其對應的理想抽樣信號的傅氏變換和拉氏變換之間的關系 5、了解利用MATLAB實現離散系統的頻率特性分析的方法

二、 實驗原理

1、正/反Z變換

Z變換分析法是分析離散時間信號與系統的重要手段。如果以時間間隔Ts對連續時間信號f(t)進行理想抽樣，那么，所得的理想抽樣信號f?(t)為：

?f?(t)?f(t)*?Ts(t)?f(t)*??(t?kTs)

k???理想抽樣信號f?(t)的雙邊拉普拉斯變換F? (s)為：

?????stF?(s)???f(t)*??(t?kTs)?edt??f(kTs)e?ksTs

??k???k??????若令f(kTs)?f(k) ，z?esTs ， 那么f?(t)的雙邊拉普拉斯變換F? (s)為：

F?(s)?k??????f(k)z?k?F(z)z?esTs

則離散信號f(k)的Z變換定義為：

F(z)?k????f(k)z?k

從上面關于Z變換的推導過程中可知，離散信號f(k)的Z變換F(z)與其對應的理想抽樣信號f?(t)的拉氏變換F? (s)之間存在以下關系：

F?(s)?F(z)z?esTs

同理，可以推出離散信號f(k)的Z變換F(z)和它對應的理想抽樣信號f?(t)的傅里葉變換之間的關系為 F?(j?)?F(z)z?ej?Ts

如果已知信號的Z變換F(z)，要求出所對應的原離散序列f(k)，就需要進行反Z變換，反Z變換的定義為： f(k)??F(z)z2?j?1k?1dz

的所有極點的閉合積分路線。

其中，C為包圍F(z)z如下：

k?1在MATLAB語言中有專門對信號進行正反Z變換的函數ztrans( ) 和itrans( )。其調用格式分別? F=ztrans( f ) 對f(n)進行Z變換，其結果為F(z)

1

? F=ztrans(f,v) 對f(n)進行Z變換，其結果為F(v) ? F=ztrans(f,u,v) 對f(u)進行Z變換，其結果為F(v) ? f=itrans ( F ) 對F(z)進行Z反變換，其結果為f(n) ? f=itrans(F,u) 對F(z)進行Z反變換，其結果為f(u) ? f=itrans(F,v,u ) 對F(v)進行Z反變換，其結果為f(u)

注意： 在調用函數ztran( )及iztran( )之前，要用syms命令對所有需要用到的變量(如t,u,v,w)等進行說明，即要將這些變量說明成符號變量。

例①．用MATLAB求出離散序列f(k)?(0.5)k?(k) 的Z變換 MATLAB程序如下：

syms k z

f=0.5^k; %定義離散信號

Fz=ztrans(f) %對離散信號進行Z變換 運行結果如下：

Fz = 2*z/(2*z-1)

例②．已知一離散信號的Z變換式為F(z)?MATLAB程序如下：

syms k z

Fz=2* z/(2*z-1); %定義Z變換表達式 fk=iztrans(Fz,k) %求反Z變換 運行結果如下：

fk = (1/2)^k

例③：求序列f(k)??(k?1)??(t?4)的Z變換.

clc;clear all syms n

hn=sym('kroneckerDelta(n, 1) + kroneckerDelta(n, 2)+ kroneckerDelta(n, 3)') Hz=ztrans(hn) Hz=simplify(Hz)

2z ，求出它所對應的離散信號f(k) 2z?12、離散系統的頻率特性

同連續系統的系統函數H(s)類似，離散系統的系統函數H(z)也反映了系統本身固有的特性。對于離散系統來說，如果把其系統函數H(z)中的復變量z換成ej??ej?Ts(其中???Ts)，那么所得的函數

H(ej?)就是此離散系統的頻率響應特性，即離散時間系統的頻率響應為：

H(ej?)?H(ej?)?ej?(?)?H(z)z?ej?

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j?其中， H(e)稱為離散系統的幅頻特性，?(?)稱為系統的相頻特性。同連續系統一樣，離散時間系統

的幅頻特性也是頻率的偶函數，相頻特性也是頻率的齊函數。

由于ej?是頻率?的周期函數，所以離散系統的頻率響應特性也是頻率?的周期函數，其周期為2?，

或者角頻率周期為?T?2?。實際上，這就是抽樣系統的抽樣頻率，而其中的T則是系統的抽樣周期。Ts頻率響應呈現周期性是離散系統特性區別于連續系統特性的重要特點。因此，只要分析H(ej?)在??2?范圍內的情況，便可分析出系統的整個頻率特性。

H(ej?)函數來表示離散系統的頻率響應特性， H(ej?)表示幅頻特性，而相頻特性仍用?(?)來表

示。應該特別注意的是，雖然這里的變量?仍然稱為頻率變量，但是它已經不是原來意義上的角頻率概念，而實際上是表示角度的概念。我們稱之為數字頻率。它與原來角頻率的關系為：???Ts。也就是說，根據離散系統的系統函數H(z)，令其中的z?ej?，并且代入0～2?范圍內不同的頻率值(實際上是角度值)，

就可以逐個計算出不同頻率時的響應，求出離散系統的頻率響應特性。再利用離散系統頻率特性的周期性特點(周期為2?)，求出系統的整個頻率特性。

離散系統的幅頻特性曲線和相頻特性曲線能夠直觀地反映出系統對不同頻率的輸入序列的處理情況。在函數H(ej?)隨?的變換關系中，在?=0附近，反映了系統對輸入信號低頻部分的處理情況，而在?=?附近，則反映了系統對輸入信號高頻部分的處理情況。

一般來說，分析離散系統頻率響應特性就要繪制頻率響應曲線，而這是相當麻煩的。雖然可以通過幾何矢量法來定性畫出頻率響應特性曲線，但一般來說這也是很麻煩的。值得慶幸的是，MATLAB為我們提供了專門用于求解離散系統頻率響應的函數freqz() ，其調用格式如下：

? [H,w]=freqz(B,A,N) 其中，B和A分別是表示待分析的離散系統的系統函數的分子，分母多項式的向量，N為正整數，返回向量H則包含了離散系統頻率響應函數H(e)在0~?范圍內的N個頻率等分點的值。向量?則包含0~?范圍內的N個頻率等分點。在默認情況下N=512。

? [H,w]=freqz(B,A,N,'whole') 其中，B，A和N的意義同上，而返回向量H包含了頻率響

j?應函數H(e)在0~2?范圍內N個頻率等分點的值。

j?由于調用freqz()函數只能求出離散系統頻率響應的數值，不能直接繪制曲線圖，因此，我們可以先用freqz()函數求出系統頻率響應的值，然后再利用MATLAB的abs()和angle()函數以及plot()命令，即可繪制出系統在0~?或0~2?范圍內的幅頻特性和相頻特性曲線。 例①．若離散系統的系統函數為H(z)?率響應H(e)的樣值。 MATLAB程序如下：

A=[1 0]; %分母多項式系數向量 B=[1 -0.5]; %分子多項式系數向量

[H,w]=freqz(B,A,10) %求出對應0~?范圍內10個頻率點的頻率響應樣值 運行結果如下： H =

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j?z?0.5，請用MATLAB計算0~?頻率范圍內10個等分點的頻z 0.5000 0.5245 + 0.1545i 0.5955 + 0.2939i 0.7061 + 0.4045i 0.8455 + 0.4755i 1.0000 + 0.5000i 1.1545 + 0.4755i 1.2939 + 0.4045i 1.4045 + 0.2939i 1.4755 + 0.1545i w = 0 0.3142 0.6283 0.9425 1.2566 1.5708 1.8850 2.1991 2.5133 2.8274

例②．用MATLAB計算前面離散系統在0~2?頻率范圍內200個頻率等分點的頻率響應值，并繪出相應的幅頻特性和相頻特性曲線。 MATLAB程序如下：

A=[1 0]; B=[1 -0.5];

[H,w]=freqz(B,A,200);

[H,w]=freqz(B,A,200,'whole'); %求出對應0~2?范圍內200個頻率點的頻率響%應樣值 HF=abs(H); %求出幅頻特性值 HX=angle(H); %求出相頻特性值 subplot(2,1,1);plot(w,HF) %畫出幅頻特性曲線 subplot(2,1,2);plot(w,HX) %畫出相頻特性曲線

運行結果如下：

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運行結果分析：從該系統的幅頻特性曲線可以看出，該系統呈高通特性，是一階高通濾波器。

三、 實驗內容

1． 求出下列離散序列的Z變換

k?① f1(k)?(1)cos(k2)?(k) 2k② f2(k)?k(k?1)(2 3)?(k)③ f3(k)??(k)??(k?5)

④ f4(k)?k(k?1)??(k)??(k?5)?

2． 已知下列單邊離散序列的z變換表達式，求其對應的原離散序列。

z2?z?1①F1(z)?

2z?z?2②F2(z)?1?1111?2?3?4 zzzz2(z2?3z?6)③F3(z)?

4zz(z2?z?1)④ F4(z)?

(z?1)(z?2)(z?3)3. 已知離散系統的系統函數H (z)如下，請繪出系統的幅頻和相頻特性曲線，并說明系統的作用 ① H(z)?4z?4 12(z?2)(z?3)z2?1② H(z)?

2z?0.814. 已知描述離散系統的差分方程為：

y(k)?1.2y(k?1)?0.35y(k?2)?e(k)?0.25e(k?1)

請繪出系統的幅頻和相頻特性曲線，并說明系統的作用。

四、 預習要求

1、 熟悉正反z變換的意義及用MATLAB軟件實現的方法

5

與50位技術專家面對面20年技術見證，附贈技術全景圖

總結

以上是生活随笔為你收集整理的matlab1信号的单边z变换:,实验二 离散时间信号与系统的Z变换分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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