1．集合論，數學基礎

馮?諾依曼的第一篇論文是和菲克特合寫的，是關于車比雪夫多項式求根法的菲葉定理推廣，注明的日期是1922年，那時馮?諾依曼還不滿18歲。另一篇文章討論一致稠密數列，用匈牙利文寫就，題目的選取和證明手法的簡潔顯露出馮?諾依曼在代數技巧和集合論直觀結合的特征。

1923年當馮?諾依曼還是蘇黎世的大學生時，發表了超限序數的論文。文章第一句話就直率地聲稱“本文的目的是將康托的序數概念具體化、精確。他的關于序數的定義，現在已被普遍采用。

強烈企求探討公理化是馮?諾依曼的愿望，大約從l925年到l929年，他的大多數文章都嘗試著貫徹這種公理化精神，以至在理論物理研究中也如此。當時，他對集合論的表述處理，尤感不夠形式化，在他1925年關于集合論公理系統的博士論文中，開始就說“本文的目的，是要給集合論以邏輯上無可非議的公理化論述”。

有趣的是，馮?諾依曼在論文中預感到任何一種形式的公理系統所具有的局限性，模糊地使人聯想到后來由哥德爾證明的不完全性定理。對此文章，著名邏輯學家、公理集合論奠基人之一的弗蘭克爾教授曾作過如下評價：“我不能堅持說我已把(文章的)一切理解了，但可以確有把握地說這是一件杰出的工作，并且透過他可以看到一位巨人”。

1928年馮?諾依曼發表了論文《集合論的公理化》，是對上述集合論的公理化處理。該系統十分簡潔，它用第一型對象和第二型對象相應表示樸素集合論中的集合和集合的性質，用了一頁多一點的紙就寫好了系統的公理，它已足夠建立樸素集合論的所有內容，并借此確立整個現代數學。

馮?諾依曼的系統給出了集合論的也許是第一個基礎，所用的有限條公理，具有像初等幾何那樣簡單的邏輯結構。馮?諾依曼從公理出發，巧妙地使用代數方法導出集合論中許多重要概念的能力簡直叫人驚嘆不已，所有這些也為他未來把興趣落腳在計算機和“機械化”證明方面準備了條件。

總結

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