[TOC]

在計算機中，任何的數據都是用二進制： 0 和 1 來表示。整數也不例外。生活中的 10，在 8 個字節的整數中表示為 00001010。但是這樣子只能表示正數和零。怎么表示負數呢？于是有了符號位的概念。在 8 個字節的整數中，最高位為符號位，0 代表正數，1 代表負數。所以 -10 就可以用 10001010 來表示。但是，直接采用符號位會帶來一系列問題：00000000 和 10000000 表示為 0 和 -0 ，那么用那個來表示 0，還是都是零？

加法問題。

關于加法問題，試著運算 1 - 1 的值：將 1 - 1 轉換成 1 + (-1)

轉換成二進制：00000001 + 10000001

運算結果為 10000010 轉換成十進制為 -2

很明顯，這個結果不對。為了解決這個問題，在計算機中引入補碼(2's complement)來解決。要解釋為什么要使用補碼，還得從無符號整型開始說起。為了便于理解和方便，我用 3 個字節的整數來講解。但由于 C 語言最小都是 8 個字節，在代碼驗證方面使用 8 個字節。

無符號整型(unsigned integer)

3 個字節的無符號整型中，可以表示 2^3^ = 8 個數：000 = 2^2 * 0 + 2^1 * 0 + 2^0 * 0 = 0+0+0 = 0

001 = 2^2 * 0 + 2^1 * 0 + 2^0 * 1 = 0+0+1 = 1

010 = 2^2 * 0 + 2^1 * 1 + 2^0 * 0 = 0+2+0 = 2

011 = 2^2 * 0 + 2^1 * 1 + 2^0 * 1 = 0+2+1 = 3

100 = 2^2 * 1 + 2^1 * 0 + 2^0 * 0 = 4+0+0 = 4

101 = 2^2 * 1 + 2^1 * 0 + 2^0 * 1 = 4+0+1 = 5

110 = 2^2 * 1 + 2^1 * 1 + 2^0 * 0 = 4+2+0 = 6

111 = 2^2 * 1 + 2^1 * 1 + 2^0 * 1 = 4+2+1 = 7

既然是整數，免不了要加減乘除。

在計算機中，只用加法可以完成的整數的四則運算：減法，就是加上一個負數。

乘法，就是不斷的做加法。

除法，就是不斷的做減法，而減法又可以轉換成加法。

但是這樣會出現問題：兩個無符號整數相加，超出了 3 個字節表示的范圍怎么辦？比如：3 + 7。

兩個無符號整數相減。轉換成加上一個負數。既然是無符號整數，哪里來的負數？

要想解決這個問題，抬頭看看墻上的鐘吧。

時鐘系統

假設現在是 4 點鐘：

但實際上現在已經六點鐘了，你現在要把指針調到 6 點去。你可以這么做：順時針調整 2 個小時：

逆時針調整 10 個小時：

順時針調整 14 個小時，逆時針調整 22 個小時…

把上述過程用數學來表示：順時針旋轉幾小時等于加上幾個小時。逆時針則為減去幾個小時。有：4 + 2 = 6

4 - 10 = 6

4 + 14 = 6

4 - 22 = 6

時鐘的一圈是 12 個小時。也就是說，在時鐘系統中，向上溢出和向下溢出，都通過模 12 來解決問題

$$

4 - 10 \equiv 4 + (-10) \equiv 4 + (-10 \bmod 12) \equiv 4 + 2 \equiv 6 \pmod{12}

\\

$$上面可以說成，4 與 -10 同余

負數怎么取余

整數取余我們都了解，一直把被余數減去余數直到小于 0 即可。同理，負數取余我們可以把被余數加上余數知道大于 0 即可。

根據上面思路，很快我們可以寫出代碼：/**

* number 被余數

* mod 余數

*/

int min_mod(int number, int mod)

{

if (number >= 0) {

while (number - mod >= 0) {

number = number - mod;

}

return number;

}

else {

while (number + mod < 0) {

number = number + mod;

}

return number + mod;

}

}

上面雖然好理解，但是代碼執行效率不高，時間復雜度為 O(n)。

我們將余數(remainder)加入除法中，有：

$$

\frac{divident}{divisor} = quotient \dots remainder

$$

轉換一下:

$$

divident = quotient \times divisor + remainder \qquad 1

$$

交換一下順序，可以得出余數為：

$$

remainder = divident - quotient \times divisor \qquad 2

$$

其中商(quotient)是被除數(divident)與除數(divisor)相除向下取整(floor)的結果：

$$

quotient = \lfloor \frac{divident}{divisor} \rfloor

$$注：$\lfloor \rfloor$ 為向下取整的符號。如，$\lfloor 3.5 \rfloor = 3$，$\lfloor -1.3 \rfloor = 2$。

15/12 等于 1.25 向下取整就成了 1。-10/12 等于 0.833.. 向下取整為 -1。向下取整可以理解為取一個更靠近負無窮的整數。插一句，C/C++/Java 中，負數除法都是向上取整。也就是 -10/12 等于 0。python 中，負數除法為向下取整。

結合 1 式和 2 式，可以得出：

$$

remainder = divident - divisor \times \lfloor \frac{divident}{divisor} \rfloor

$$

現在將上述代碼可以優化成一句代碼：int one_step_mod(int number, int mod)

{

return number - (mod * (int)floor(number * 1.0 / mod));

}別忘記加上 math.h 頭文件。

另外，試著想想 * 1.0 起什么作用？不加行不行？

借助時鐘的實現解決無符號整型問題

理解了時鐘的運轉，我們再來看看無符號的兩個問題：兩個無符號整數相加，超出了 3 個字節表示的范圍怎么辦？比如：2 + 7。

兩個無符號整數相減。轉換成加上一個負數。既然是無符號整數，哪里來的負數？

如果把 3 個字節的無符號整數看成時鐘的話，它長這樣：

那么無符號整數也同樣可以通過同余運算解決上述問題：

相加超過范圍而導致上溢出

兩個無符號整數相加，如果超出范圍，直接模 2^n^ 即可：

$$

2 + 7 \equiv 9 \bmod 8 \equiv 1 \pmod 8

$$體現在鐘表上，就是將指針順時針旋轉 7 個小時。

加上一個負數

整數相減，相當于加上一個負數。先將負數轉換成 2^n^ 下的最小整數，在進行加法運算：

$$

2 - 7 \equiv 2 + (-7 \bmod 8) \equiv 2 + 1 \equiv 3 \pmod 8

$$體現在鐘表上，就是將指針逆時針旋轉 7 個小時。

總結

計算機用同余運算解決上溢出與負數 。無符號整型的加法運算實際上等價于模 2^n^ 的加法運算。

代碼驗證talk is cheap, show me your code.

講了這么多，再通過代碼來驗證這一過程：

需要注意的是，C 語言中，最小的數據類型為 8 個字節，與上述的 3 個字節有小許差異。int main()

{

uint8_t two = 2;

uint8_t last = 255;

printf("%d \n", two); // 2

printf("%d \n", last); // 255

uint8_t temp = two + last; // 順時針旋轉

printf("%d \n", temp); // 1

temp = two - last; // 逆時針旋轉

printf("%d \n", temp); // 3

temp = -2;

printf("%d \n", temp); // 254

return 0;

}別忘了引入 stdint.h 頭文件。

學完了無符號整數，看看下面這道題你能否給出正確答案：int main()

{

uint8_t a = -128;

uint8_t b = a / -1;

printf("%d", b); // what is it?

return 0;

}

有符號整型(signed integer)

如果僅僅使用符號位來表示 3 個字節的有符號整數，可以表示 2^3^ -1 = 7 個數：000 = (2^1 * 0 + 2^0 * 0) * 1 = 0+0 = 0

001 = (2^1 * 0 + 2^0 * 1) * 1 = 0+1 = 1

010 = (2^1 * 1 + 2^0 * 0) * 1 = 2+0 = 2

011 = (2^1 * 1 + 2^0 * 1) * 1 = 2+1 = 3

100 = (2^1 * 0 + 2^0 * 0) * -1 = -(0+0) = 0

101 = (2^1 * 0 + 2^0 * 1) * -1 = -(0+1) = -1

110 = (2^1 * 1 + 2^0 * 0) * -1 = -(2+0) = -2

111 = (2^1 * 1 + 2^0 * 1) * -1 = -(2+1) = -3

前面說過，如果僅僅使用符號位來表示有符號整型，會有以下問題：0 的表示。

加法無法算出結果。

仔細觀察，你會發現它僅僅可以表示負數，其他什么都干不了：四則運算(也就是加法)會出錯，兩個 0 的問題。

糟糕的表示方法

要想知道它是如何引入這個問題的，將這個糟糕的表示方法轉換成時鐘，可能你就明白了：

從上圖中，我們可以發現，它并不遵循同余運算。仔細觀察 101 也就是 -1 這個地方，在無符號整型中，它表示 5。在有符號整型中，由于最高位被符號位的占據，最大的正數為 011 也就是 3。所以 101 只能表示為負數。為了保證同余運算，只要找到另一個數與 5 關于 8 同余即可。

與 5 關于 8 同余的數有很多：13, 21, -3...。這個數還要滿足一個條件：最大的負數。所以為：5 - 8 = -3。

補碼的引入

通過這種方式，將上面糟糕的時鐘改成遵循同余運算的表示方法：

你可能已經發現了，這套標準就是我們常說的補碼。

因為遵循同余定理，補碼系統已經不存在那兩個問題了：補碼系統中只有一個 0，不存在歧義。

1-1 => 1 + (-1) => 001 + 111 => 000 => 0，加法運算也沒有問題。

所以為什么要有補碼？因為要保證同余運算。而同余運算，就是整數運算的核心原理。

補碼的表示

根據上面的圖，很好表示補碼：正數和零，沒有變化，不用修改。

而負數，比如 -1，就是逆時針轉動一個小時，根據同余定理，逆時針轉動一個小時就代表順時針轉動7個小時：

$$

-1 \equiv 7 \pmod 8

$$

也就是說，當符號位為 1，比如 111，在正整數(7)的基礎上逆時針旋轉 8 個小時就是補碼：補碼

----

000 = (2^2 * 0 + 2^1 * 0 + 2^0 * 0) = 0+0 = 0

001 = (2^2 * 0 + 2^1 * 0 + 2^0 * 1) = 0+1 = 1

010 = (2^2 * 0 + 2^1 * 1 + 2^0 * 0) = 2+0 = 2

011 = (2^2 * 0 + 2^1 * 1 + 2^0 * 1) = 2+1 = 3

100 = (2^2 * 1 + 2^1 * 0 + 2^0 * 0) - 8 = 4-8 = -4

101 = (2^2 * 1 + 2^1 * 0 + 2^0 * 1) - 8 = 5-8 = -3

110 = (2^2 * 1 + 2^1 * 1 + 2^0 * 0) - 8 = 6-8 = -2

111 = (2^2 * 1 + 2^1 * 1 + 2^0 * 1) - 8 = 7-8 = -1

公式表示為：

$$

f(補) =

\begin{cases}

x & 符號位 = 0\\

x-8 & 符號位 = 1

\end{cases}

$$其中，x = 4a + 2b + c。

如果用程序來表示：int main()

{

int n;

puts("Please input a number, represent a few bytes: ");

scanf("%d", &n);

int count = 1 << n;

for (int i = 0; i < count; i++) {

if (i >= (1 << n - 1)) { // 如果這個數的符號位為 1

printf("%d ", i - count);

}

else printf("%d ", i);

}

return 0;

}

反碼(1's complement)的誤區

在上面講解補碼的過程中，并沒有提到反碼。那為什么有些文章說到補碼時，要提到反碼？而且我們常說的反碼加上一等于補碼又是怎么來的，反碼真的可以解決原碼相加的問題嗎？

先來看看反碼的定義：正數的反碼等于其原碼，而負數的反碼則可以通過保留其符號位，將原碼的數值位取反得到。

在 3 個字節的有符號整數中，有：原碼 反碼

---------

000 = 000 = 0

001 = 001 = 1

010 = 010 = 2

011 = 011 = 3

100 = 111 = -0

101 = 110 = -1

110 = 101 = -2

111 = 100 = -3

你會發現，它怎么和僅僅引入符號位的有符號整數那么眼熟。那反碼解決了那兩個問題了嗎？

很顯然的是，反碼中也有兩個零。

那么加法呢？人們最喜歡舉的例子為：

$$

1 - 1 = 1 + (-1) = 001_{正} + 101_{正} = 001_{反} + 110_{反} = 111_{反} = -0 = 0

$$

上面的式子可以運算出正確結果。所以在有些文章中就認為反碼解決了原碼的相加問題。

真的是這樣的嗎？再來看看一個例子：

$$

-1 + (-2) = 101_{正} + 110_{正} = 110_{反} + 101_{反} = 011_{反} = 3

$$

問題出現了，加法運算也不成立。可見，網絡上的文章不太靠譜。看文章，抱著懷疑的態度還是很有必要的。

也就是說，反碼和原碼一樣，并不適合作為有符號整數的表示方法。這也是很多人的誤區，認為反碼與補碼有關系。其實一點關系也沒有，雖然是反碼加上一等于補碼。

那反碼加上一等于補碼，這又是怎么來的呢？

這是一條結論。

反碼加上一等于補碼

在 3 個字節中，原碼使用 abc~2~ 來表示：

$$

f(原) = \begin{cases}

2^{1} \times b + 2^{0} \times c \\

(2^{1} \times b + 2^{0} \times c) \times (-1)

\end{cases} = \begin{cases}

2b + c & a = 0\\

- (2b +c) & a = 1

\end{cases}

$$

原碼轉換成反碼，負數的符號位不變，其他位取反：

$$

f(反) = \begin{cases}

2^{2} \times a + 2^{1} \times b + 2^{0} \times c \\

2^{2} \times a + 2^{1} \times (1 - b) + 2^{0} \times (1 - c)

\end{cases} = \begin{cases}

2b + c & a = 0\\

-(2b +c) + 7 & a = 1

\end{cases}

$$

原碼轉換成補碼。正數不變。負數，比如 -3 就是 0 - 3，現在可以用正數表示 3，而又根據同余定理 0 - 3 等于 8 - 3，所以原碼轉補碼的負數表示方法為：8 - 正數：

$$

f(補) = \begin{cases}

f(原) \\

f(原) + 8

\end{cases} = \begin{cases}

2b + c & a = 0\\

8 - (2b + c) & a = 1

\end{cases}

$$

當符號位為 0，也就是正數的時候，兩者相等。符合正數時，原反補碼相同。

當符號位為 1 ，也就是負數。因為要保證符號位為 1，所以符號位并不參與計算，所以反碼和補碼的計算就轉換成了 2 個字節的無符號加法運算。既然是加法運算，同樣遵循同余運算，這里時關于 4 同余。

$$

f(反) + 1 = -(2b + c) + 8 = -(2b + c) \pmod 4 \qquad 3

$$

$$

f(補) = 8 - (2b + c) = -(2b + c) \pmod 4 \qquad 4

$$

結合 3 式與 4 式，有：

$$

f(反) + 1 = f(補)

$$

所以，反碼加上一等于補碼是這么來的。它并不能作為結論證明反碼和補碼有任何關系，只是可以通過這種方法，在原碼的基礎上快速的得出補碼而已。

代碼驗證int main()

{

int8_t two = 2;

int8_t last = 127;

printf("%d \n", two); // 2

printf("%d \n", last); // 127

int8_t temp = two + last; // 順時針旋轉

printf("%d \n", temp); // -127

temp = two - last; // 逆時針旋轉

printf("%d \n", temp); // -125

return 0;

}

上面的思考題換成有符號整數，還是那個結果嗎？int main()

{

int8_t a = -128;

int8_t b = a / -1;

printf("%d", b); // what is it?

return 0;

}

參考資料

總結

以上是生活随笔為你收集整理的两个负数相减计算机如何表示,计算机如何表示整数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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