? 設$X$是實直線的子集合，那么下述兩命題是邏輯等價的.

? (a)$X$是有界的并且是連通的.

? (b)$X$是有界區間.

? 證明:當$X$是空集時，兩個命題顯然是邏輯等價的.


? 當$X$是非空集合時，


(a)$\Rightarrow$(b):由于$X$非空，且$X$有界，因此$X$有上確界$\sup (X)$和下確界$\inf(x)$.當$\sup (X)=\inf(X)$時，易得$X$是單點集，此時$X$是有界區間.當$\sup(X)>\inf(X)$時，

若$\sup(X),\inf(X)\in X$,則根據連通的定義可知$[\inf X,\sup(X)]\subseteq X$.且易得$X\subseteq [\inf X,\sup X]$.因此$X=[\inf X,\sup X]$,可見，$X$是有界區間.

若$\sup (X)\not\in X,\inf (X)\in X$,則易得$[\inf X,\sup X)\subseteq X$(為什么?),且易得$X\subseteq [\inf X,\sup X]$,因此$[\inf X,\sup X)=X$.
? ?
若$\sup X\not\in X,\inf X\not\in X$,易得$X=(\inf X,\sup X)$(為什么?).

若$\sup X\in X,\inf X\not \in X$,易得$X=(\inf X,\sup X]$.


?(b)$\Rightarrow $(a)是容易的.

轉載于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2013/02/07/3827790.html

總結

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