作者：Hawstein
出處：http://hawstein.com/posts/dp-knapsack.html

一切都要從一則故事說起。

話說有一哥們?nèi)ド掷锿姘l(fā)現(xiàn)了一堆寶石，他數(shù)了數(shù)，一共有n個(gè)。 但他身上能裝寶石的就只有一個(gè)背包，背包的容量為C。這哥們把n個(gè)寶石排成一排并編上號(hào)： 0,1,2,…,n-1。第i個(gè)寶石對(duì)應(yīng)的體積和價(jià)值分別為V[i]和W[i] 。排好后這哥們開始思考： 背包總共也就只能裝下體積為C的東西，那我要裝下哪些寶石才能讓我獲得最大的利益呢？

OK，如果是你，你會(huì)怎么做？你斬釘截鐵的說：動(dòng)態(tài)規(guī)劃啊！恭喜你，答對(duì)了。 那么讓我們來看看，動(dòng)態(tài)規(guī)劃中最最最重要的兩個(gè)概念： 狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程在這個(gè)問題中分別是什么。

我們要怎樣去定義狀態(tài)呢？這個(gè)狀態(tài)總不能是憑空想象或是從天上掉下來的吧。 為了方便說明，讓我們先實(shí)例化上面的問題。一般遇到n，你就果斷地給n賦予一個(gè)很小的數(shù)， 比如n=3。然后設(shè)背包容量C=10，三個(gè)寶石的體積為5，4，3，對(duì)應(yīng)的價(jià)值為20，10，12。 對(duì)于這個(gè)例子，我想智商大于0的人都知道正解應(yīng)該是把體積為5和3的寶石裝到背包里， 此時(shí)對(duì)應(yīng)的價(jià)值是20+12=32。接下來，我們把第三個(gè)寶石拿走， 同時(shí)背包容量減去第三個(gè)寶石的體積（因?yàn)樗茄b入背包的寶石之一）， 于是問題的各參數(shù)變?yōu)?#xff1a;n=2，C=7，體積｛5，4｝，價(jià)值｛20，10｝。好了， 現(xiàn)在這個(gè)問題的解是什么？我想智商等于0的也解得出了：把體積為5的寶石放入背包 （然后剩下體積2，裝不下第二個(gè)寶石，只能眼睜睜看著它溜走），此時(shí)價(jià)值為20。 這樣一來，我們發(fā)現(xiàn)，n=3時(shí)，放入背包的是0號(hào)和2號(hào)寶石；當(dāng)n=2時(shí)， 我們放入的是0號(hào)寶石。這并不是一個(gè)偶然，沒錯(cuò)， 這就是傳說中的“全局最優(yōu)解包含局部最優(yōu)解”（n=2是n=3情況的一個(gè)局部子問題）。 繞了那么大的圈子，你可能要問，這都哪跟哪啊？說好的狀態(tài)呢？說好的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程呢？ 別急，它們已經(jīng)呼之欲出了。

我們?cè)侔焉厦娴睦永硪幌隆．?dāng)n=2時(shí)，我們要求的是前2個(gè)寶石， 裝到體積為7的背包里能達(dá)到的最大價(jià)值；當(dāng)n=3時(shí)，我們要求的是前3個(gè)寶石， 裝到體積為10的背包里能達(dá)到的最大價(jià)值。有沒有發(fā)現(xiàn)它們其實(shí)是一個(gè)句式！OK， 讓我們形式化地表示一下它們， 定義d(i,j)為前i個(gè)寶石裝到剩余體積為j的背包里能達(dá)到的最大價(jià)值。 那么上面兩句話即為：d(2, 7)和d(3, 10)。這樣看著真是爽多了， 而這兩個(gè)看著很爽的符號(hào)就是我們要找的狀態(tài)了。 即狀態(tài)d(i,j)表示前i個(gè)寶石裝到剩余體積為j的背包里能達(dá)到的最大價(jià)值。 上面那么多的文字，用一句話概括就是：根據(jù)子問題定義狀態(tài)！你找到子問題， 狀態(tài)也就浮出水面了。而我們最終要求解的最大價(jià)值即為d(n, C)：前n個(gè)寶石 （0,1,2…,n-1）裝入剩余容量為C的背包中的最大價(jià)值。狀態(tài)好不容易找到了， 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程呢？顧名思義，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程就是描述狀態(tài)是怎么轉(zhuǎn)移的方程（好廢話！）。 那么回到例子，d(2, 7)和d(3, 10)是怎么轉(zhuǎn)移的？來，我們來說說2號(hào)寶石 （記住寶石編號(hào)是從0開始的）。從d(2, 7)到d(3, 10)就隔了這個(gè)2號(hào)寶石。 它有兩種情況，裝或者不裝入背包。如果裝入，在面對(duì)前2個(gè)寶石時(shí)， 背包就只剩下體積7來裝它們，而相應(yīng)的要加上2號(hào)寶石的價(jià)值12， d(3, 10)=d(2, 10-3)+12=d(2, 7)+12；如果不裝入，體積仍為10，價(jià)值自然不變了， d(3, 10)=d(2, 10)。記住，d(3, 10)表示的是前3個(gè)寶石裝入到剩余體積為10 的背包里能達(dá)到的最大價(jià)值，既然是最大價(jià)值，就有d(3, 10)=max{ d(2, 10), d(2, 7)+12 }。好了，這條方程描述了狀態(tài)d(i, j)的一些關(guān)系， 沒錯(cuò)，它就是狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程了。把它形式化一下：d(i, j)=max{ d(i-1, j), d(i-1,j-V[i-1]) + W[i-1] }。注意討論前i個(gè)寶石裝入背包的時(shí)候， 其實(shí)是在考查第i-1個(gè)寶石裝不裝入背包（因?yàn)閷毷菑?開始編號(hào)的）。至此， 狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程都已經(jīng)有了。接下來，直接上代碼。

for(int i=0; i<=n; ++i){ for(int j=0; j<=C; ++j){ d[i][j] = i==0 ? 0 : d[i-1][j]; if(i>0 && j>=V[i-1]) d[i][j] >?= d[i-1][j-V[i-1]]+W[i-1]; } }

i=0時(shí)，d(i, j)為什么為0呢？因?yàn)榍?個(gè)寶石裝入背包就是沒東西裝入，所以最大價(jià)值為0。 if語句里，j>=V[i-1]說明只有當(dāng)背包剩余體積j大于等于i-1號(hào)寶石的體積時(shí)， 我才考慮把它裝進(jìn)來的情況，不然d[i][j]就直接等于d[i-1][j]。i>0不用說了吧， 前0個(gè)寶石裝入背包的情況是邊界，直接等于0，只有i>0才有必要討論， 我是裝呢還是不裝呢。簡單吧，核心算法就這么一丁點(diǎn)，接下來上完整代碼knapsack.cpp。

/**0-1 knapsack d(i, j)表示前i個(gè)物品裝到剩余容量為j的背包中的最大重量**/ #include<cstdio> using namespace std; #define MAXN 1000 #define MAXC 100000 int V[MAXN], W[MAXN]; int d[MAXN][MAXC]; int main(){ freopen("data.in", "r", stdin);//重定向輸入流 freopen("data.out", "w", stdout);//重定向輸出流 int n, C; while(scanf("%d %d", &n, &C) != EOF){ for(int i=0; i<n; ++i) scanf("%d %d", &V[i], &W[i]); for(int i=0; i<=n; ++i){ for(int j=0; j<=C; ++j){ d[i][j] = i==0 ? 0 : d[i-1][j]; if(i>0 && j>=V[i-1]) d[i][j] >?= d[i-1][j-V[i-1]]+W[i-1]; } } printf("%d\n", d[n][C]);//最終求解的最大價(jià)值 } fclose(stdin); fclose(stdout); return 0; }

其中freopen函數(shù)將標(biāo)準(zhǔn)輸入流重定向到文件data.in， 這比運(yùn)行程序時(shí)一點(diǎn)點(diǎn)手輸要方便許多，將標(biāo)準(zhǔn)輸出流重定向到data.out。 data.in中每組輸入的第一行為寶石數(shù)量n及背包體積C，接下來會(huì)有n行的數(shù)據(jù)， 每行兩個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的是寶石的體積及價(jià)值。本測(cè)試用例data.in如下：

5 10 4 9 3 6 5 1 2 4 5 1 4 9 4 20 3 6 4 20 2 4 5 10 2 6 2 3 6 5 5 4 4 6

data.out為算法輸出結(jié)果，對(duì)應(yīng)該測(cè)試用例，輸出結(jié)果如下：

19 40 15

好，至此我們解決了背包問題中最基本的0/1背包問題。等等，這時(shí)你可能要問， 我現(xiàn)在只知道背包能裝入寶石的最大價(jià)值，但我還不知道要往背包里裝入哪些寶石啊。嗯， 好問題！讓我們先定義一個(gè)數(shù)組x，對(duì)于其中的元素為1時(shí)表示對(duì)應(yīng)編號(hào)的寶石放入背包， 為0則不放入。讓我們回到上面的例子，對(duì)于體積為5，4，3，價(jià)值為20，10，12的3個(gè)寶石 ，如何求得其對(duì)應(yīng)的數(shù)組x呢？（明顯我們目測(cè)一下就知道x={1 0 1}， 但程序可目測(cè)不出來）OK，讓我們還是從狀態(tài)說起。如果我們把2號(hào)寶石放入了背包， 那么是不是也就意味著，前3個(gè)寶石放入背包的最大價(jià)值要比前2個(gè)寶石放入背包的價(jià)值大， 即：d(3, 10)>d(2, 10)。再用字母代替具體的數(shù)字 （不知不覺中我們就用了不完全歸納法哈），當(dāng)d(i, j)>d(i-1, j)時(shí)，x(i-1)=1;OK， 上代碼：

//輸出打印方案 int j = C; for(int i=n; i>0; --i){ if(d[i][j] > d[i-1][j]){ x[i-1] = 1; j = j - V[i-1];//裝入第i-1個(gè)寶石后背包能裝入的體積就只剩下j - V[i-1] } } for(int i=0; i<n; ++i) printf("%d ", x[i]);

好了，加入這部分內(nèi)容，knapsack.cpp變?yōu)槿缦?#xff1a;

/**0-1 knapsack d(i, j)表示前i個(gè)物品裝到剩余容量為j的背包中的最大重量**/ #include<cstdio> using namespace std; #define MAXN 1000 #define MAXC 100000 int V[MAXN], W[MAXN], x[MAXN]; int d[MAXN][MAXC]; int main(){ freopen("data.in", "r", stdin); freopen("data.out", "w", stdout); int n, C; while(scanf("%d %d", &n, &C) != EOF){ for(int i=0; i<n; ++i) scanf("%d %d", &V[i], &W[i]); for(int i=0; i<n; ++i) x[i] = 0; //初始化打印方案 for(int i=0; i<=n; ++i){ for(int j=0; j<=C; ++j){ d[i][j] = i==0 ? 0 : d[i-1][j]; if(i>0 && j>=V[i-1]) d[i][j] >?= d[i-1][j-V[i-1]]+W[i-1]; } } printf("%d\n", d[n][C]); //輸出打印方案 int j = C; for(int i=n; i>0; --i){ if(

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/shrimp-can/p/6686076.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的[转载]动态规划之0-1背包问题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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