題目描述

在火星游玩多日,jyy偶然地發現了一張藏寶圖。根據藏寶圖上說法，寶藏被埋藏在一個巨大的湖里的N個島上(2<=N<=200,000)。為了方便描述，地圖把整個湖劃分成M行M列(1<=M<=1000),共M*M個小塊，并把所有島按照1...N編了號。第i個島位于第Xi行Yi列（設其坐標為(Xi,Yi))的格子(Xi,Yi均為整數，并且滿足1<=Xi,Yi<=M),島上藏有價值財富Vi(1<=Vi<=10,000)。湖的左上角(1,1)和右下角(M,M)都有島，有橋將它們與陸地相連。

jyy沒費多大勁，就找到了那個湖，同時哭笑不得地發現，所謂的財富，是各個島上出產的珍稀水果。jyy 在左上角的島的岸邊找到了一條小木船，他可以劃船到其他島上去。劃船是要消耗體力的，具體地說，等于兩島 Euclidean 距離的平方(即，從(X1,Y1)劃船到(X2,Y2)所耗費的體力為(X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2個單位)。jyy可以吃水果來恢復體力，吃掉1單位價值的水果能恢復1單位體力。

現在jyy打算從(1,1)旅行到(M,M)，沿途收集珍稀水果。按藏寶圖上的提示，jyy 離開一個島后，就只能去該島右下方的區域（正下和正右方向也是允許的），否則會遭遇水怪。jyy可以在旅行途中餓一段時間，即體力為負。但抵達終點后，只要身邊有足夠多的水果，他就會通過吃水果將體力恢復到旅行前的水平。

jyy想知道，經過一次旅行，他最多能得到多少收益，即jyy收集到的水果總價值-jyy在旅途中花的總體力。(如果吃完所有水果他還餓著，收益就是負數，具體的例子見樣例)

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第1行：兩個整數N,M。第2..N+1行：每行3個整數，第i+1行的3個整數分別為Xi，Yi，Vi。每個島的坐標不同。保證存在坐標(1,1)和(M,M)的島。

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輸出格式：

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第1行：輸出一個整數，表示最大收益。

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輸入樣例#1：?復制 4 10 1 1 20 10 10 10 3 5 60 5 3 30 輸出樣例#1：?復制 -4

說明

20+60+10-((3-1)^2+(5-1)^2)-((10-3)^2+(10-5)^2)=-4

對20%的數據M<=200，且N<=2,000

對50%的數據M<=200，且N<=20,000

對100%的數據M<=1000，且N<=200,000

題解

　　話說斜率優化的題解好玄學orz->這里

　　考慮$dp_i$為走到$i$點的最大收益，則轉移方程為$dp_i=max\{dp_j-(x_i-x_j)^2-(y_i-y_j)^2\}+w_i$

　　如果直接轉移的話是$O(n^2)$的，然而這里有一個特性，同一列中能轉移的點肯定是行數大的更優

　　為啥咧？從行數小的點先走到行數大的再走到該點在豎直方向上花費為$a^2+b^2$，直接走到該點在豎直方向上的花費為$(a+b)^2$，他們水平方向上的花費一樣，那么肯定先走到行數大的點的花費會更小

　　然后據說這樣就能用$O(nm)$卡過去了

　　然而這和斜率優化有什么關系么？（沒有）

　　設$dp_{i,j}$表示走到$(i,j)$的最大收益，我們可以枚舉從哪一列轉移到這里。因為只要確定了列就可以確定行，我們設$pos_i$表示第$i$列能轉移點的最大行數，$x$為當前點行數，省略$dp$數組的第一維，設$dis_j=(x-pos_j)^2$，則有$$dp_i=max\{dp_j-dis_j-(i-j)^2+w_{x,i}\}$$

　　設$j<k$且從$k$轉移比從$j$轉移更優，則有$$dp_j-dis_j-(i-j)^2<dp_k-dis_k-(i-k)^2$$

　　$$dp_i-dp_k-dis_j+dis_k-j^2+k^2<2*i*(k-j)$$

　　$$\frac{dp_i-dp_k-dis_j+dis_k-j^2+k^2}{(k-j)*2}<i$$

　　然后就可以斜率優化了……雖然基本都是抄的但還是累死我了……

　　順便注意如果$j=k$的時候斜率返回$inf$或$-inf$

1 //minamoto 2 #include<iostream> 3 #include<cstdio> 4 #include<cstring> 5 using namespace std; 6 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++) 7 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf; 8 inline int read(){ 9 #define num ch-'0' 10 char ch;bool flag=0;int res; 11 while(!isdigit(ch=getc())) 12 (ch=='-')&&(flag=true); 13 for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num); 14 (flag)&&(res=-res); 15 #undef num 16 return res; 17 } 18 const int N=1005,inf=0x3f3f3f3f; 19 int n,m,h,t,x,y,q[N]; 20 int dp[N][N],w[N][N],pos[N],dis[N]; 21 inline double slope(int x,int y){ 22 return x==y?-inf:1.0*(dp[pos[x]][x]-dp[pos[y]][y]-dis[x]+dis[y]-x*x+y*y)/2/(y-x); 23 } 24 int main(){ 25 //freopen("testdata.in","r",stdin); 26 n=read(),m=read(); 27 for(int i=1;i<=n;++i) x=read(),y=read(),w[x][y]=read(); 28 memset(dp,0xef,sizeof(dp)); 29 dp[1][1]=w[1][1],pos[1]=1,w[1][1]=0; 30 for(int i=1;i<=m;++i){ 31 for(int j=1;j<=m;++j) dis[j]=(pos[j]!=0)*(pos[j]-i)*(pos[j]-i); 32 h=1,t=0; 33 for(int j=1;j<=m;++j){ 34 if(pos[j]){ 35 while(h<t&&slope(q[t-1],q[t])>slope(q[t],j)) --t; 36 q[++t]=j; 37 } 38 if(w[i][j]){ 39 while(h<t&&slope(q[h],q[h+1])<j) ++h; 40 dp[i][j]=dp[pos[q[h]]][q[h]]-dis[q[h]]-(q[h]-j)*(q[h]-j)+w[i][j]; 41 pos[j]=i,dis[j]=0; 42 while(h<t&&slope(q[t],q[t-1])>slope(q[t],j)) --t; 43 q[++t]=j; 44 } 45 } 46 } 47 printf("%d\n",dp[m][m]); 48 return 0; 49 }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/bztMinamoto/p/9548191.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的bzoj1560：[JSOI2009]火星藏宝图（斜率优化）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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