斐波那契数列算法分析
http://www.cnblogs.com/CCBB/archive/2009/04/25/1443441.html
背景：
假定你有一雄一雌一對剛出生的兔子，它們在長到一個月大小時開始交配，在第二月結束時，雌兔子產下另一對兔子，過了一個月后它們也開始繁殖，如此這般持續下去。每只雌兔在開始繁殖時每月都產下一對兔子，假定沒有兔子死亡，在一年后總共會有多少對兔子？
在一月底，最初的一對兔子交配，但是還只有1對兔子；在二月底，雌兔產下一對兔子，共有2對兔子；在三月底，最老的雌兔產下第二對兔子，共有3對兔子；在四月底，最老的雌兔產下第三對兔子，兩個月前生的雌兔產下一對兔子，共有5對兔子；……如此這般計算下去，兔子對數分別是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89, 144, ...看出規律了嗎？從第3個數目開始，每個數目都是前面兩個數目之和。這就是著名的斐波那契（Fibonacci）數列。
?
有趣問題：
1，有一段樓梯有10級臺階,規定每一步只能跨一級或兩級,要登上第10級臺階有幾種不同的走法?
答：這就是一個斐波那契數列：登上第一級臺階有一種登法；登上兩級臺階，有兩種登法；登上三級臺階，有三種登法；登上四級臺階，有五種方法……所以，1，2，3，5，8，13……登上十級，有89種。
2，數列中相鄰兩項的前項比后項的極限是多少，就是問，當n趨于無窮大時，F(n)/F(n+1)的極限是多少？
答：這個可由它的通項公式直接得到，極限是(-1+√5)/2，這個就是所謂的黃金分割點，也是代表大自然的和諧的一個數字。
?
?
數學表示：
Fibonacci數列的數學表達式就是：
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
F(1) = 1
F(2) = 1
?
遞歸程序1：
Fibonacci數列可以用很直觀的二叉遞歸程序來寫，用C++語言的描述如下：
long fib1(int n)
{
??????????if (n <= 2)
{
??????????return 1;
}
else
{
??????????return fib1(n-1) + fib1(n-2);
}
}
看上去程序的遞歸使用很恰當，可是在用VC2005的環境下測試n=37的時候用了大約3s，而n=45的時候基本下樓打完飯也看不到結果……顯然這種遞歸的效率太低了！！
遞歸效率分析：
例如，用下面一個測試函數：
long fib1(int n, int* arr)
{
?????????arr[n]++;
?????????if (n <= 2)
?????????{
??????????????return 1;
?????????}
?????????else
?????????{
??????????????return fib1(n-1, arr) + fib1(n-2, arr);
?????????}
}
這時，可以得到每個fib(i)被計算的次數：
fib(10) = 1?????fib(9) = 1??????fib(8) = 2??????fib(7) = 3
fib(6) = 5??????fib(5) = 8??????fib(4) = 13????fib(3) = 21
fib(2) = 34???fib(1) = 55????fib(0) = 34
可見，計算次數呈反向的Fibonacci數列，這顯然造成了大量重復計算。
我們令T(N)為函數fib(n)的運行時間，當N>=2的時候我們分析可知：
T(N) = T(N-1) + T(N-2) + 2
而fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)，所以有T(N) >= fib(n)，歸納法證明可得：
fib(N) < (5/3)^N
當N>4時，fib（N）>= (3/2)^N
標準寫法：
顯然這個O（(3/2)^N）?是以指數增長的算法，基本上是最壞的情況。
其實，這違反了遞歸的一個規則：合成效益法則。
合成效益法則（Compound interest rule）：在求解一個問題的同一實例的時候，切勿在不同的遞歸調用中做重復性的工作。
所以在上面的代碼中調用fib(N-1)的時候實際上同時計算了fib(N-2)。這種小的重復計算在遞歸過程中就會產生巨大的運行時間。
?
遞歸程序2：
用一叉遞歸程序就可以得到近似線性的效率，用C++語言的描述如下：
long fib(int n, long a, long b, int count)
{
?????if (count == n)
?????????return b;
?????return fib(n, b, a+b, ++count);
}
?
long fib2(int n)
{
?????return fib(n, 0, 1, 1);
}
這種方法雖然是遞歸了，但是并不直觀，而且效率上相比下面的迭代循環并沒有優勢。
?
迭代解法：
Fibonacci數列用迭代程序來寫也很容易，用C++語言的描述如下：
//也可以用數組將每次計算的f(n)存儲下來，用來下次計算用（空間換時間）
long fib3 (int n)
{
?????long x = 0, y = 1;
?????for (int j = 1; j < n; j++)
?????{
?????????y = x + y;
?????????x = y - x;
?????}
?????return y;
}
這時程序的效率顯然為O（N），N = 45的時候<1s就能得到結果。
?
矩陣乘法：
我們將數列寫成：
Fibonacci[0] = 0，Fibonacci[1] = 1
Fibonacci[n] = Fibonacci[n-1] + Fibonacci[n-2] (n >= 2)
可以將它寫成矩陣乘法形式：
將右邊連續的展開就得到：
下面就是要用O(log(n))的算法計算：
顯然用二分法來求，結合一些面向對象的概念，C++代碼如下：
class?Matrix
{
public:
???????long?matr[2][2];
?
???????Matrix(const?Matrix&rhs);
???????Matrix(long?a,?long?b,?long?c,?long?d);
???????Matrix&?operator=(const?Matrix&);
???????friend?Matrix?operator*(const?Matrix& lhs,?const?Matrix& rhs)
???????{
??????????????Matrix ret(0,0,0,0);
??????????????ret.matr[0][0] = lhs.matr[0][0]*rhs.matr[0][0] + lhs.matr[0][1]*rhs.matr[1][0];
??????????????ret.matr[0][1] = lhs.matr[0][0]*rhs.matr[0][1] + lhs.matr[0][1]*rhs.matr[1][1];
??????????????ret.matr[1][0] = lhs.matr[1][0]*rhs.matr[0][0] + lhs.matr[1][1]*rhs.matr[1][0];
??????????????ret.matr[1][1] = lhs.matr[1][0]*rhs.matr[0][1] + lhs.matr[1][1]*rhs.matr[1][1];
??????????????return?ret;
???????}
};
?
Matrix::Matrix(long?a,?long?b,?long?c,?long?d)
{
???????this->matr[0][0] = a;
???????this->matr[0][1] = b;
???????this->matr[1][0] = c;
???????this->matr[1][1] = d;
}
?
Matrix::Matrix(const?Matrix &rhs)
{
???????this->matr[0][0] = rhs.matr[0][0];
???????this->matr[0][1] = rhs.matr[0][1];
???????this->matr[1][0] = rhs.matr[1][0];
???????this->matr[1][1] = rhs.matr[1][1];
}
?
Matrix& Matrix::operator?=(const?Matrix &rhs)
{
???????this->matr[0][0] = rhs.matr[0][0];
???????this->matr[0][1] = rhs.matr[0][1];
???????this->matr[1][0] = rhs.matr[1][0];
???????this->matr[1][1] = rhs.matr[1][1];
???????return?*this;
}
?
Matrix power(const?Matrix& m,?int?n)
{
???????if?(n == 1)
??????????????return?m;
???????if?(n%2 == 0)
??????????????return?power(m*m, n/2);
???????else
??????????????return?power(m*m, n/2) * m;
}
?
long?fib4 (int?n)
{
???????Matrix matrix0(1, 1, 1, 0);
???????matrix0 = power(matrix0, n-1);
???????return?matrix0.matr[0][0];
}
這時程序的效率為O（log(N)）?。
?
公式解法：
在O（1）的時間就能求得到F(n)了：
?
注意：其中[x]表示取距離x最近的整數。
用C++寫的代碼如下：
long fib5(int n)
{
?????double z = sqrt(5.0);
?????double x = (1 + z)/2;
?????double y = (1 - z)/2;
?????return (pow(x, n) - pow(y, n))/z + 0.5;
}
這個與數學庫實現開方和乘方本身效率有關的，我想應該還是在O(log(n))的效率。
?
總結：
上面給出了5中求解斐波那契數列的方法，用測試程序主函數如下：
int main()
{
?????cout << fib1(45) << endl;
?????cout << fib2(45) << endl;
?????cout << fib3(45) << endl;
?????cout << fib4(45) << endl;
cout << fib5(45) << endl;
?????return 0;
}
函數fib1會等待好久，其它的都能很快得出結果，并且相同為：1134903170。
而后面兩種只有在n = 1000000000的時候會顯示出優勢。由于我的程序都沒有涉及到高精度，所以要是求大數據的話，可以通過取模來獲得結果的后4位來測試效率與正確性。
另外斐波那契數列在實際工作中應該用的很少，尤其是當數據n很大的時候（例如：1000000000），所以綜合考慮基本普通的非遞歸O(n)方法就很好了，沒有必要用矩陣乘法。
?
附錄：
程序全部源碼：
#include?<iostream>
#include?<vector>
#include?<string>
#include?<cmath>
#include?<fstream>
?
using?namespace?std;
?
class?Matrix
{
public:
???????long?matr[2][2];
?
???????Matrix(const?Matrix&rhs);
???????Matrix(long?a,?long?b,?long?c,?long?d);
???????Matrix&?operator=(const?Matrix&);
???????friend?Matrix?operator*(const?Matrix& lhs,?const?Matrix& rhs)
???????{
??????????????Matrix ret(0,0,0,0);
??????????????ret.matr[0][0] = lhs.matr[0][0]*rhs.matr[0][0] + lhs.matr[0][1]*rhs.matr[1][0];
??????????????ret.matr[0][1] = lhs.matr[0][0]*rhs.matr[0][1] + lhs.matr[0][1]*rhs.matr[1][1];
??????????????ret.matr[1][0] = lhs.matr[1][0]*rhs.matr[0][0] + lhs.matr[1][1]*rhs.matr[1][0];
??????????????ret.matr[1][1] = lhs.matr[1][0]*rhs.matr[0][1] + lhs.matr[1][1]*rhs.matr[1][1];
??????????????return?ret;
???????}
};
?
Matrix::Matrix(long?a,?long?b,?long?c,?long?d)
{
???????this->matr[0][0] = a;
???????this->matr[0][1] = b;
???????this->matr[1][0] = c;
???????this->matr[1][1] = d;
}
?
Matrix::Matrix(const?Matrix &rhs)
{
???????this->matr[0][0] = rhs.matr[0][0];
???????this->matr[0][1] = rhs.matr[0][1];
???????this->matr[1][0] = rhs.matr[1][0];
???????this->matr[1][1] = rhs.matr[1][1];
}
?
Matrix& Matrix::operator?=(const?Matrix &rhs)
{
???????this->matr[0][0] = rhs.matr[0][0];
???????this->matr[0][1] = rhs.matr[0][1];
???????this->matr[1][0] = rhs.matr[1][0];
???????this->matr[1][1] = rhs.matr[1][1];
???????return?*this;
}
?
Matrix power(const?Matrix& m,?int?n)
{
???????if?(n == 1)
??????????????return?m;
???????if?(n%2 == 0)
??????????????return?power(m*m, n/2);
???????else
??????????????return?power(m*m, n/2) * m;
}
?
//普通遞歸
long?fib1(int?n)
{
??????????????if?(n <= 2)
??????????????{
?????????????????????return?1;
??????????????}
??????????????else
??????????????{
?????????????????????return?fib1(n-1) + fib1(n-2);
??????????????}
}
/*上面的效率分析代碼
long fib1(int n, int* arr)
{
??????????????arr[n]++;
??????????????if (n <= 1)
??????????????{
?????????????????????return 1;
??????????????}
??????????????else
??????????????{
?????????????????????return fib1(n-1, arr) + fib1(n-2, arr);
??????????????}
}
*/
?
long?fib(int?n,?long?a,?long?b,?int?count)
{
???????if?(count == n)
??????????????return?b;
???????return?fib(n, b, a+b, ++count);
}
//一叉遞歸
long?fib2(int?n)
{
???????return?fib(n, 0, 1, 1);
}
?
//非遞歸方法O(n)
long?fib3 (int?n)
{
???????long?x = 0, y = 1;
???????for?(int?j = 1; j < n; j++)
???????{
??????????????y = x + y;
??????????????x = y - x;
???????}
???????return?y;
}
?
//矩陣乘法O(log(n))
long?fib4 (int?n)
{
???????Matrix matrix0(1, 1, 1, 0);
???????matrix0 = power(matrix0, n-1);
???????return?matrix0.matr[0][0];
}
?
//公式法O(1)
long?fib5(int?n)
{
???????double?z = sqrt(5.0);
???????double?x = (1 + z)/2;
???????double?y = (1 - z)/2;
???????return?(pow(x, n) - pow(y, n))/z + 0.5;
}
?
int?main()
{
???????//n = 45時候fib1()很慢
???????int?n = 10;
???????cout << fib1(n) << endl;
???????cout << fib2(n) << endl;
???????cout << fib3(n) << endl;
???????cout << fib4(n) << endl;
???????cout << fib5(n) << endl;
???????return?0;
}
轉載于:https://www.cnblogs.com/xiaomaohai/archive/2012/01/10/6157873.html
與50位技術專家面對面20年技術見證，附贈技術全景圖總結
以上是生活随笔為你收集整理的斐波那契数列算法分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
- 上一篇： [恢]hdu 2056
- 下一篇： How Browser Works