設(shè)函數(shù) $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續(xù), $f(x)>0$. 又 $\dps{F(x)=\int_a^x f(t)\rd t+\int_b^x \frac{1}{f(t)}\rd t}$. 試證:

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(1). $F'(x)\geq 2$;

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(2). $F(x)=0$ 在 $[a,b]$ 中有且僅有一個(gè)實(shí)根. (華中師范大學(xué))

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證明:

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(1). $$\bex F'(x)=f(x)+\frac{1}{f(x)}\geq 2\sqrt{f(x)\cdot \frac{1}{f(x)}}=2. \eex$$

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(2). 由 $$\bex F(a)=\int_b^a \frac{1}{f(t)}\rd t<0,\quad F(b)=\int_a^b f(t)\rd t>0 \eex$$ 及連續(xù)函數(shù)的介值定理即知 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上有一個(gè)實(shí)根. 又由 (1), $F(x)$ 僅有一個(gè)實(shí)根.

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總結(jié)

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