there exists and all

there exists

證明根號2是無理數

all

?

習題

3. Which of the following formal propositions says that there is no largest prime. (There may be more than one. You have to select all correct propositions.) The variables denote natural numbers. [6 points]

??x?y[Prime(x)∧?Prime(y)∧(x<y)]

?x?y[Prime(x)∧Prime(y)∧(x<y)]

?x?y[Prime(x)∧Prime(y)∧(x<y)]

?x?y[Prime(y)∧(x<y)]

?x?y[Prime(y)∧(x<y)]

?x?y[Prime(x)∧(x<y)]

?

解析：

?x?y[Prime(x)∧Prime(y)∧(x<y)]

對于任意的x，存在y，使得x是素數，y是素數并且 x 小于 y。我認為這個可以表示出不存在最大素數的意思。所以是正確的。

駁斥上面的：對于任意x，x是素數，這個是錯誤的。如果改成存在，就是對的，但不能表現出題中的意思。

?

答案是??x?y[Prime(y)∧(x<y)]。

對于任意x，存在素數y，使得 x < y。即，存在比x更大的素數。

如果要改成“任意素數x，存在素數y，使得 x < y。即，存在比x更大的素數。”，該怎么改？

(?x屬于Prime)(?y)[Prime(x)∧Prime(y)∧(x<y)]

?

4.?

The symbol ?!x means "There exists a unique x such that ...'' Which of the following accurately defines the expression ?!x?(x)? [5 points]

?x?y[?(x)∧[?(y)?(x≠y)]]

?x[?(x)∧(?y)[?(y)?(x≠y)]]

?x?y[(?(x)∧?(y))?(x=y)]

[?x?(x)]∧(?y)[?(y)?(x=y)]

?x[?(x)∧(?y)[?(y)?(x=y)]]

?

解析：

題目???!x?(x) 的意思

只存在一個數，能使??(x) 為 True

?

[?x?(x)]∧(?y)[?(y)?(x=y)]

存在一個數x使得??(x) 為 True，并且對于任意y，如果?(y)，那么 x=y，x未定義

?

?x[?(x)∧(?y)[?(y)?(x=y)]]

存在一個數x使得?(x)成立，并且這個數x，對于任意y，如果?(y)，那么 x=y。

這里與上面的不同是：(?y)[?(y)?(x=y) 與 x 存在有關。答案是有關，因為 x = y，而上面的后方，y 是沒有定義的。所以大難是這個。

?

5. Which of the following means "The arithmetic operation x↑y is not commutative." (↑ is just some arbitrary binary operation.) [3 points]

?x?y[x↑y≠y↑x]

?x?y[x↑y≠y↑x]

?x?y[x↑y≠y↑x]

?x?y[x↑y≠y↑x]

解析:

Commutative:??x?y[x↑y=y↑x]

Not commutative:??x?y[x↑y≠y↑x]

not?? =???

?

解析：

轉載于:https://www.cnblogs.com/jay54520/p/6884082.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Introduction to Mathematical Thinking - Week 3的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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