轉(zhuǎn)自:https://blog.csdn.net/liangzhaoyang1/article/details/51602926

?

---

?

設(shè)G是所有邊權(quán)均不相同的無(wú)向聯(lián)通圖。

證明一：

首先，易證圖G中權(quán)值最小的邊一定是最小生成樹(shù)中的邊。(否則最小生成樹(shù)加上權(quán)值最小的邊后構(gòu)成一個(gè)環(huán)，去掉環(huán)中任意一條非此邊則形成了另一個(gè)權(quán)值更小的生成樹(shù))。

之后用反證法，假設(shè)G存在倆個(gè)不同的最小生成樹(shù)

①.設(shè)G的倆個(gè)不同的最小生成樹(shù)T1 T2，設(shè)這倆顆生成樹(shù)的并集為子圖G1，G1為連通圖且T1 T2顯然為G1的最小生成樹(shù)，由首先可得知倆顆生成樹(shù)至少包含一條公共邊，將G1中兩顆生成樹(shù)的公共邊刪去，得到子圖G2。G2由一個(gè)或多個(gè)連通分量組成，其中至少有一個(gè)連通分量的最小生成樹(shù)不唯一（否則若所有連通分量的最小生成樹(shù)唯一，則將刪掉的公共邊加上，則T1等于T2，這與假設(shè)相矛盾）。

②.對(duì)其中一個(gè)最小生成樹(shù)不唯一的連通分量設(shè)為H，若H中點(diǎn)數(shù)>2，重復(fù)①的操作。否則H中只有倆個(gè)點(diǎn)，由于所有邊權(quán)值不同，顯然最小生成樹(shù)唯一，這與①中的最后一句相矛盾。

綜上，所有邊權(quán)均不相同的無(wú)向圖最小生成樹(shù)是唯一的。

?

?

證明二：

設(shè)T，T’為G的倆個(gè)最小生成樹(shù)，設(shè)T的邊集E(T)={e1,e2,...,em}，T'的邊集E(T')={e'1,e'2,...,e'm}。

設(shè)ek滿足ek≠e'k且k最小，由于所有邊權(quán)值不同，不妨假設(shè)weight(ek)<weight(ek')，則將ek加入到T'，T'中構(gòu)成環(huán)，易知環(huán)中不包含e'1,e'2,...,e'k-1(否則在T中有包含ek的環(huán))，將環(huán)中任意非ek邊刪掉后得到了權(quán)值更小的生成樹(shù)，這與T‘為最小生成樹(shù)相矛盾，故G最小生成樹(shù)唯一。

還有一個(gè)更強(qiáng)的結(jié)論：同一個(gè)圖不同最小生成樹(shù)的邊權(quán)重序列相同。

?

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/schips/p/10659998.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的怎么证明权重不相同的加权无向图的最小生成树是唯一的 （图论）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。