轉自:https://blog.csdn.net/liangzhaoyang1/article/details/51602926

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設G是所有邊權均不相同的無向聯通圖。

證明一：

首先，易證圖G中權值最小的邊一定是最小生成樹中的邊。(否則最小生成樹加上權值最小的邊后構成一個環，去掉環中任意一條非此邊則形成了另一個權值更小的生成樹)。

之后用反證法，假設G存在倆個不同的最小生成樹

①.設G的倆個不同的最小生成樹T1 T2，設這倆顆生成樹的并集為子圖G1，G1為連通圖且T1 T2顯然為G1的最小生成樹，由首先可得知倆顆生成樹至少包含一條公共邊，將G1中兩顆生成樹的公共邊刪去，得到子圖G2。G2由一個或多個連通分量組成，其中至少有一個連通分量的最小生成樹不唯一（否則若所有連通分量的最小生成樹唯一，則將刪掉的公共邊加上，則T1等于T2，這與假設相矛盾）。

②.對其中一個最小生成樹不唯一的連通分量設為H，若H中點數>2，重復①的操作。否則H中只有倆個點，由于所有邊權值不同，顯然最小生成樹唯一，這與①中的最后一句相矛盾。

綜上，所有邊權均不相同的無向圖最小生成樹是唯一的。

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證明二：

設T，T’為G的倆個最小生成樹，設T的邊集E(T)={e1,e2,...,em}，T'的邊集E(T')={e'1,e'2,...,e'm}。

設ek滿足ek≠e'k且k最小，由于所有邊權值不同，不妨假設weight(ek)<weight(ek')，則將ek加入到T'，T'中構成環，易知環中不包含e'1,e'2,...,e'k-1(否則在T中有包含ek的環)，將環中任意非ek邊刪掉后得到了權值更小的生成樹，這與T‘為最小生成樹相矛盾，故G最小生成樹唯一。

還有一個更強的結論：同一個圖不同最小生成樹的邊權重序列相同。

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轉載于:https://www.cnblogs.com/schips/p/10659998.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的怎么证明权重不相同的加权无向图的最小生成树是唯一的 （图论）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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