今天講述的內(nèi)容還是GAN的訓練，也是最后一期，做幾個簡單的小實驗，告訴大家怎么給GAN加正則項，使得你的GAN盡可能收斂。其實今天的內(nèi)容本來還是與動力學結(jié)合很緊密，但是考慮到復雜的數(shù)學內(nèi)容可能有害無益，我就將數(shù)學部分都刪除了，只展示最直觀的結(jié)果。

作者&編輯 | 小米粥

上一期我們說了關(guān)于GAN收斂的這樣一件事情：如果矢量場v的雅可比矩陣的特征值的實部為負數(shù)，且學習速率足夠小，則GAN會局部收斂到納什均衡點。假設(shè)學習速率確實足夠小，單純考慮特征值的問題。在納什均衡點，特征值的實數(shù)部分能否出現(xiàn)負數(shù)？這件事情是與目標函數(shù)息息相關(guān)的，因為雅可比矩陣的一般形式如下：

不難料想，如果生成器和判別器的目標函數(shù)f和g選取得當，上述矩陣的特征值的實數(shù)部分確實有可能為負數(shù)。今天用一個小實驗來盤點一下，到底哪些GAN，哪些目標函數(shù)可能收斂。

1. Dirac-GAN

我們將使用一個極其簡單的Dirac-GAN模型作為測試對象，在一維空間中，訓練數(shù)據(jù)只有一個點，其位置固定在x=0；生成器只包含一個參數(shù)θ，生成樣本的位置在x=θ，如下圖所示：

判別器為一個簡單的線性函數(shù)與激活函數(shù)復合的形式

包括一個參數(shù)φ ，其中f為激活函數(shù)。通過選擇不同的激活函數(shù)f(t)可對應(yīng)于不同的GAN形式，使用Sigmoid函數(shù)

可獲得原始形式，而選擇

可以得到WGAN的形式。Dirac-GAN的納什均衡點為(0,0)，即生成的樣本與訓練數(shù)據(jù)重合。

接下來，我們依次觀察不同的GAN能否收斂到均衡點。需要說明，實際情況遠遠復雜于Dirac-GAN，樣本不只是一維也不可能只存在一個樣本點，我們只是通過它來直觀說明一些問題，得到一些啟示。

2. 標準GAN與WGAN

2.1 標準GAN

標準GAN即Goodfellow首次提出的GAN的標準形式，其損失函數(shù)的表達式為：

在Dirac-GAN中，對應(yīng)的損失函數(shù)成為：

相應(yīng)的動力學系統(tǒng)：

采用梯度下降法發(fā)現(xiàn)其并不收斂：

2.2 WGAN

WGAN改進了概率分布之間的距離的度量，其損失函數(shù)的表達式為：

在Dirac-GAN中，對應(yīng)的損失函數(shù)成為：

這里有一個簡化處理，假設(shè)當訓練到一定程度時，φ處于0附近，其值自然小于1，滿足Lipschitz限制。若只要關(guān)心其收斂情況，這樣的假設(shè)是合理的。相應(yīng)的動力學系統(tǒng)：

采用梯度下降法則發(fā)現(xiàn)其并不收斂：

其實，與簡單的Dirac-GAN的實驗結(jié)果一致，無論是標準形式的GAN或者WGAN，從理論上證明，發(fā)現(xiàn)在納什均衡點(0,0)，其特征值為f'(0)i和-f'(0)i，均不包含實部。根據(jù)之前的理論，參數(shù)軌跡確實不應(yīng)該表現(xiàn)為收斂，而且可以進一步證明，它在(0,0)附近的軌跡表現(xiàn)為“圓”，缺乏向納什均衡點靠攏的“向心力”。

可以說，現(xiàn)在的問題不是選擇什么樣的f(t)，不是用fGAN或者WGAN的問題了，而是如何調(diào)整目標函數(shù)，也就是如何添加正則項，從而能解決特征值實部為負數(shù)的問題。

3. WGAN-GP

采用懲罰項的WGAN-GP是一種解決1-Lipschitz限制的軟方法，其損失函數(shù)的表達式為：

在Dirac-GAN中，對應(yīng)的損失函數(shù)成為：

相應(yīng)的動力學系統(tǒng)：

采用梯度下降法則發(fā)現(xiàn)其也不收斂，說明這個正則項加的“不太好”。

4. 一致優(yōu)化

一致優(yōu)化是一種理論上比較“有保證”的GAN，具體內(nèi)容在上一期進行過詳細描述，以標準的GAN+一致優(yōu)化正則項為例，其損失函數(shù)的表達式為：

在Dirac-GAN中，對應(yīng)的損失函數(shù)成為：

相應(yīng)的動力學系統(tǒng)：

結(jié)果有點復雜，但是確實在Dirac-GAN中精確收斂至(0,0)：

正如上一期所說，實際情況中必須保證學習速率要足夠小，而且要比較好地控制超參數(shù)，才可能收斂。

5. zero centered gradient

所謂zero centered gradient與WGAN-GP非常相近，就是添加正則項使判別器對輸入的梯度接近一個常數(shù)，只不過在WGAN-GP中我們選擇常數(shù)為1，而這里選擇常數(shù)為0。（至于為何選擇0，這里不展開，以后有機會補充。）再細分下來，又包括兩種添加正則項的方法，一種是在真實數(shù)據(jù)上施加懲罰項，另一種是在生成數(shù)據(jù)上施加懲罰項。

如果選擇在真實數(shù)據(jù)上施加懲罰項，則其損失函數(shù)的表達式為：

如果選擇在生成數(shù)據(jù)上施加懲罰項，則其損失函數(shù)的表達式為：

無論如何，其在Dirac-GAN中，對應(yīng)的損失函數(shù)均表示為：

相應(yīng)的動力學系統(tǒng)：

采用梯度下降法則發(fā)現(xiàn)其收斂：

這一個簡單將1改為0，使結(jié)果產(chǎn)生了巨大的變化，其實這一改變也正是Wasserstein散度的理論結(jié)果，注意這不是WGAN中的Wasserstein距離。

綜上，我們可以帶有啟發(fā)性得說，如果你的fGAN或者WGAN訓練過程不收斂，試一下一致優(yōu)化正則項或者zero centered gradient正則項吧。

[1]?Mescheder L , Nowozin S , Geiger A . The Numerics of GANs[J]. 2017.

[2]?Mescheder L , Geiger A , Nowozin S . Which Training Methods for GANs do actually Converge?[J]. 2018.

總結(jié)

這篇文章用了一個非常簡單且直觀的Dirac-GAN進行實驗，首先說明了標準的GAN或者WGAN是無法收斂到納什均衡的，需要添加正則項。接下來，WGAN-GP也無法收斂，而一致優(yōu)化正則項和zero centered gradient可以實現(xiàn)收斂，這為我們提供了很好的啟示。

下期預告：GAN中的mode collapse問題

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【GAN优化】如何选好正则项让你的GAN收敛的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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