雙邊濾波

雙邊濾波很有名，使用廣泛，簡(jiǎn)單的說就是一種同時(shí)考慮了像素空間差異與強(qiáng)度差異的濾波器，因此具有保持圖像邊緣的特性。

先看看我們熟悉的高斯濾波器

其中W是權(quán)重，i和j是像素索引，K是歸一化常量。公式中可以看出，權(quán)重只和像素之間的空間距離有關(guān)系，無論圖像的內(nèi)容是什么，都有相同的濾波效果。

再來看看雙邊濾波器，它只是在原有高斯函數(shù)的基礎(chǔ)上加了一項(xiàng)，如下

其中 I 是像素的強(qiáng)度值，所以在強(qiáng)度差距大的地方（邊緣），權(quán)重會(huì)減小，濾波效應(yīng)也就變小。總體而言，在像素強(qiáng)度變換不大的區(qū)域，雙邊濾波有類似于高斯濾波的效果，而在圖像邊緣等強(qiáng)度梯度較大的地方，可以保持梯度。

引導(dǎo)濾波

引導(dǎo)濾波是近三年才出現(xiàn)的濾波技術(shù)，知道的人還不多。它與雙邊濾波最大的相似之處，就是同樣具有保持邊緣特性。在引導(dǎo)濾波的定義中，用到了局部線性模型，至于該模型，可以暫時(shí)用下圖簡(jiǎn)單的理解

該模型認(rèn)為，某函數(shù)上一點(diǎn)與其鄰近部分的點(diǎn)成線性關(guān)系，一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)就可以用很多局部的線性函數(shù)來表示，當(dāng)需要求該函數(shù)上某一點(diǎn)的值時(shí)，只需計(jì)算所有包含該點(diǎn)的線性函數(shù)的值并做平均即可。這種模型，在表示非解析函數(shù)上，非常有用。

同理，我們可以認(rèn)為圖像是一個(gè)二維函數(shù)，而且沒法寫出解析表達(dá)式，因此我們假設(shè)該函數(shù)的輸出與輸入在一個(gè)二維窗口內(nèi)滿足線性關(guān)系，如下

其中，q是輸出像素的值，I是輸入圖像的值，i和k是像素索引，a和b是當(dāng)窗口中心位于k時(shí)該線性函數(shù)的系數(shù)。其實(shí)，輸入圖像不一定是待濾波的圖像本身，也可以是其他圖像即引導(dǎo)圖像，這也是為何稱為引導(dǎo)濾波的原因。對(duì)上式兩邊取梯度，可以得到

即當(dāng)輸入圖像I有梯度時(shí)，輸出q也有類似的梯度，現(xiàn)在可以解釋為什么引導(dǎo)濾波有邊緣保持特性了。

下一步是求出線性函數(shù)的系數(shù)，也就是線性回歸，即希望擬合函數(shù)的輸出值與真實(shí)值p之間的差距最小，也就是讓下式最小

這里p只能是待濾波圖像，并不像I那樣可以是其他圖像。同時(shí)，a之前的系數(shù)（以后都寫為e）用于防止求得的a過大，也是調(diào)節(jié)濾波器濾波效果的重要參數(shù)。通過最小二乘法，我們可以得到

其中，是I在窗口w_k中的平均值，是I在窗口w_k中的方差，是窗口w_k中像素的數(shù)量，是待濾波圖像p在窗口w_k中的均值。

在計(jì)算每個(gè)窗口的線性系數(shù)時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)像素會(huì)被多個(gè)窗口包含，也就是說，每個(gè)像素都由多個(gè)線性函數(shù)所描述。因此，如之前所說，要具體求某一點(diǎn)的輸出值時(shí)，只需將所有包含該點(diǎn)的線性函數(shù)值平均即可，如下

這里，w_k是所有包含像素i的窗口，k是其中心位置。

當(dāng)把引導(dǎo)濾波用作邊緣保持濾波器時(shí)，往往有 I = p ，如果e=0，顯然a=1, b=0是E(a,b)為最小值的解，從上式可以看出，這時(shí)的濾波器沒有任何作用，將輸入原封不動(dòng)的輸出。如果e>0，在像素強(qiáng)度變化小的區(qū)域（或單色區(qū)域），有a近似于（或等于）0，而b近似于（或等于），即做了一個(gè)加權(quán)均值濾波；而在變化大的區(qū)域，a近似于1，b近似于0，對(duì)圖像的濾波效果很弱，有助于保持邊緣。而e的作用就是界定什么是變化大，什么是變化小。在窗口大小不變的情況下，隨著e的增大，濾波效果越明顯。

在濾波效果上，引導(dǎo)濾波和雙邊濾波差不多，在一些細(xì)節(jié)上，引導(dǎo)濾波較好。引導(dǎo)濾波最大的優(yōu)勢(shì)在于，可以寫出時(shí)間復(fù)雜度與窗口大小無關(guān)的算法（打算在之后的文章中討論），因此在使用大窗口處理圖片時(shí)，其效率更高。

關(guān)于引導(dǎo)濾波更多的討論和應(yīng)用，可以參看下面的論文

GuidedFilter_ECCV10.pdf

實(shí)現(xiàn)引導(dǎo)濾波這種算法的關(guān)鍵思想是盒式濾波（box filter），而且必須是通過積分圖來實(shí)現(xiàn)的盒式濾波，否則不可能與窗口大小無關(guān)，好在OpenCV的boxFilter函數(shù)滿足這個(gè)要求。

再看看引導(dǎo)濾波的公式

先計(jì)算a_k的分子，Ip 在窗口w_k中的和，再除以窗口中像素的個(gè)數(shù)，剛好就是盒式濾波，因此我們可以將輸入的引導(dǎo)圖像 I 和濾波圖像 p 相乘，并對(duì)相乘后的圖像做box filtering，即得第一項(xiàng)的結(jié)果。后面的和分別為?I 和 p 在窗口w_k中均值，因此分別對(duì) I 和 p 進(jìn)行box filtering，再將box filtering之后的結(jié)果相乘即可。實(shí)際上，a_k的分子就是 Ip 在窗口w_k中的協(xié)方差。

接下來計(jì)算a_k的分母部分。是引導(dǎo)圖 I 在窗口w_k中的方差，學(xué)過概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的朋友應(yīng)該知道，方差和期望（均值）之間是有關(guān)系的，如下式

因此在計(jì)算 I 的方差時(shí)，我們可以先計(jì)算 I*I 的均值，再減去 I 均值的平方即的平方。在方法上，計(jì)算 I*I 的均值和計(jì)算 Ip 的均值是一樣的。最后，對(duì)計(jì)算出來的方差圖像，加上常量e（每個(gè)元素都加e），分母就計(jì)算完了，自然，a_k在所有窗口中的值也就得到了。b_k的計(jì)算太簡(jiǎn)單了，大家都懂的。

注意，我們的計(jì)算都是對(duì)整個(gè)圖像的，以圖像為單位進(jìn)行計(jì)算，所以最后算出的也是兩張圖，a_k的圖（左邊）和b_k的圖（右邊），如下

在圖中可以看到，在邊緣部分或變化劇烈的部分，a的值接近于1（白色），b的值接近為0（黑色），而在變化平坦的區(qū)域，a的值接近0（黑色），b的值為平坦區(qū)域像素的均值。這與上一篇文章中所說的規(guī)律是一致的。

下面看第二個(gè)公式

輸出值q又與兩個(gè)均值有關(guān)，分別為a和b在窗口w_i中的均值（不是w_k），所以還是box filtering，我們將上一步得到兩個(gè)圖像都進(jìn)行盒式濾波，得到兩個(gè)新圖：a_i和b_i，然后用a_i乘以引導(dǎo)圖像 I ，再加上b_i，即得最終濾波之后的輸出，如下（左邊為原圖，右邊為濾波之后的圖像，其中濾波窗口半徑為8，e的值為500）：

下面是整個(gè)算法的代碼，僅供參考

void guidedFilter(Mat& source, Mat& guided_image, Mat& output, int radius, float epsilon) {CV_Assert(radius >= 2 && epsilon > 0);CV_Assert(source.data != NULL && source.channels() == 1);CV_Assert(guided_image.channels() == 1);CV_Assert(source.rows == guided_image.rows && source.cols == guided_image.cols);Mat guided;if (guided_image.data == source.data){//make a copyguided_image.copyTo(guided);}else{guided = guided_image;}//將輸入擴(kuò)展為32位浮點(diǎn)型，以便以后做乘法Mat source_32f, guided_32f;makeDepth32f(source, source_32f);makeDepth32f(guided, guided_32f);//計(jì)算I*p和I*IMat mat_Ip, mat_I2;multiply(guided_32f, source_32f, mat_Ip);multiply(guided_32f, guided_32f, mat_I2);//計(jì)算各種均值Mat mean_p, mean_I, mean_Ip, mean_I2;Size win_size(2*radius + 1, 2*radius + 1);boxFilter(source_32f, mean_p, CV_32F, win_size);boxFilter(guided_32f, mean_I, CV_32F, win_size);boxFilter(mat_Ip, mean_Ip, CV_32F, win_size);boxFilter(mat_I2, mean_I2, CV_32F, win_size);//計(jì)算Ip的協(xié)方差和I的方差Mat cov_Ip = mean_Ip - mean_I.mul(mean_p);Mat var_I = mean_I2 - mean_I.mul(mean_I);var_I += epsilon;//求a和bMat a, b;divide(cov_Ip, var_I, a);b = mean_p - a.mul(mean_I);//對(duì)包含像素i的所有a、b做平均Mat mean_a, mean_b;boxFilter(a, mean_a, CV_32F, win_size);boxFilter(b, mean_b, CV_32F, win_size);//計(jì)算輸出 (depth == CV_32F)output = mean_a.mul(guided_32f) + mean_b; } void makeDepth32f(Mat& source, Mat& output) {if (source.depth() != CV_32F ) > FLT_EPSILON)source.convertTo(output, CV_32F);elseoutput = source; }

總結(jié)

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