無圖像，不處理，先上效果圖。手上長嘴當然也可以，不過感覺有點惡心 ~ 就不上那種圖了。

這里所采用的算法就是大名鼎鼎的泊松融合算法，它的應用非常廣泛，除了上面這種手上長眼睛的效果，還可以實現“紋理拼接”、“精細摳圖”、“移花接木”等等效果。我之前已經從純數學的角度討論過它的原理了。

但是，當初給出的代碼僅僅是為了算法演示的目的，所以并未進行優化。可以說是最簡單、最原始的實現方法。然后，我寫完就扔一邊很久沒碰了。今天有朋友向我了解，我表示印象中用高斯法解大稀疏矩陣也可以實現對泊松方程的求解，但是當初沒有深究。今天好奇心再次被喚起，想來再續前緣。沒想到一頓翻箱倒柜，還真找到些不錯的資料。其中一篇感性角度理解該算法的文章感覺很不錯。不僅介紹了算法的原理（而且完全不從數學角度，就從感性認識談也一樣深刻），還談及了優化的實現方法。今天我特別二次加工后與各位分享。

原文鏈接：http://eric-yuan.me/poisson-blending/

下面的圖基本都是盜的原文中的，原文是英文，我根據自己的理解翻譯+改編，希望能融合一些我個人的理解。

首先，讓我們從最最簡單的“一維”情況開始考慮。如下圖所示，我們的目標是將左圖中紅色的部分copy到右圖中，這個時候左圖中紅色部分就相當于是最開始圖中的“眼睛”，右圖就是一個手掌。

如果要做到天衣無縫，我們應該保證哪些條件？這個我在過去的文章中討論過，總而言之，言而總之，就兩條：1）將眼睛融入手掌之后，眼睛和手掌相連的邊緣過渡要平滑（用圖像處理的術語說，就是梯度小）。2）眼睛內部的自身紋理要最大程度保留，不能融合之后眼睛沒了，就剩手掌那肯定不行。

就我們當前所面對的這個例子，其實就是要求：

其中f?是右圖中的“信號”，而+1、-1、+2、-1、-1是原圖（左圖）本來的梯度。那我們有沒有什么是已知的呢？有的！f1=6，f6=1，即融合邊界的信息我們已知。于是化簡有

然后根據費馬定理，當有極值時，偏導數等于零，即

然后如果用矩陣形式來表示方程組便有

現在要解一個線性方程組，而且這個方程組還是稀疏的，顯然用高斯-塞德爾迭代法是非常不錯的選擇，這也是泊松方法的原作者最初使用的求解方法。而且高斯法會比雅各比法快很多。更多高斯-塞德爾迭代法的內容請見

Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法?_一九八網絡科技V客學院-IT技術博客

/baimafujinji/article/details/50582462

然后我們咔嚓一頓狂解，最后得到方程組的結為：f2=6，f3=4，f4=5，f5=3，這好像并不太直觀，于是用圖形來表示

哈啊！看出門道了嗎？首先，接合的地方過渡很自然（梯度小），內部紋理保持的也不錯（基本和原圖一致）。Yes, we get it！

然后呢？我們既然處理的對象是圖像，所以還得回到二維的情況來看看。其實，你應該理解，這個推廣的過程其實沒啥新鮮的東西。但它與你編程實現直接相關。下圖演示了我們將要開展的工作。數字方格是我要copy過來的像素點，紅色表示接合邊緣。

跟一維的情況一樣，我們現在要解線性方程組?Ax = b，其中A是一個N×N的方陣，N是我們要copy的像素數目，本題中N=10。我們用下面的偽代碼演示了創建一個所需的10×10方陣。

for i=1:row numberfor j=1:col numberif(i==j)matrix(i, j)=-4elif(adjacent(pixel(j), pixel(i)))matrix(i, j)=1elsematrix(i, j)=0endendend 最終我們生成的矩陣應該是長成下面這個樣子（我之前以為原博文作者這個地方寫錯了。直到我編碼實現的時候才發現其中另有玄妙。真是實踐出真知啊！在下一篇文章中，我會結合Matlab代碼來演示這個地方。）：

在方程組?Ax = b中，b?是一個N元向量，它是由下面這個式子創建的

b[i] = div ( G( Source(x,y) ) ) + Neighbor(target i) ; ? ? ? ? ?i=1..N

其中G(·)是求梯度，散度由下面公式求得（這屬于經典離散數值解，不做過多解釋，如果你感覺困惑可以看我前面的文章，已經說得很詳細了）

div G = -4 f(x,y) + f(x-1,y) + f(x,y-1) + f(x+1,y) + f(x,y+1)

其中i的鄰域（Neighbor）指的是i的四鄰域點中屬于邊界的部分，例如從圖中可以看出

• Neighbor(pixel 1) 有三個點： left, up, right;
• Neighbor(pixel 8) 有兩個點： left, up;
• Neighbor(pixel 5) 有一個點： up.

這里我還想根據Patrick的經典論文之原文來對上面的結論做進一步的解釋。其中，p是S中的一個元素，Np是點p位于S內部的4鄰域點。<p,q>表示一個點對，其中q∈Np。Ω的邊界

請注意，S和Ω的所代表的意思我在前面的文章中已經給出，請讀者參考之前的文章。令fp 代表p點處的f值。那么原來的優化問題就變成了如下的離散形式：

vpq?是v((q+p)/2)在邊[p,q]方向上的投影，即

上述最優化問題的解滿足

? ??（7）

這就是我們上面給出的那個公式。對于位于S中的Ω的邊界像素點p，|Np|<4，即邊界上點的鄰域點少于4個，顯然邊界上的點p至少有一個鄰域點位于Ω內部。然而，對于那些位于Ω內部的像素點p而言，即Np∈Ω，等式右端的邊界項就不復存在了，即有

方程（7）是一個很大的稀疏矩陣，所以可以用經典的迭代法進行求解。作者指出他原文中的結果是采用高斯-塞德爾法得到的。

如果我們知道矩陣?A?和向量?b, 我們就可以根據x?=?A^-1?*?b來計算向量x，這也就是目標圖像中要被填充的部分像素。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图像处理之让手心长出眼睛，其实嘴也可以的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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