? ?前一篇文章《二項(xiàng)分布》中說過，伯努利分布（也稱為兩點(diǎn)分布或0-1分布）是二項(xiàng)分布在n=1時(shí)的特例。我們先看伯努利分布的均值和方差的推導(dǎo)。

? ?根據(jù)離散型隨機(jī)變量均值和方差的定義，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：

X	x1	x2	...	xi	...	xn
P	p1	p2	...	pi	...	pn

? ?則稱E(X)=x1*p1+x2*p2+...+...xi*pi+...+xn*pn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，稱為隨機(jī)變量X的方差。

? ?伯努利分布的分布列為：

X	0	1
P	1-p	p

? ?則根據(jù)離散型隨機(jī)變量的均值和方差定義：
E(X)=0*(1-p)+1*p=p? ?

D(X)=(0-E(X))²(1-p)+(1-E(X))²p=p²(1-p)+(1-p)²p=p²-p³+p³-2p²+p=p-p²=p(1-p)

? ?對(duì)于二項(xiàng)分布X~B(n,p)，X表示的是n次伯努利試驗(yàn)中事件發(fā)生次數(shù)的隨機(jī)變量。用Xi表示第i次伯努利試驗(yàn)中的隨機(jī)變量，那么n次伯努利試驗(yàn)總的隨機(jī)變量X可以表示成：

X=X1+X2+...+Xi+...+Xn

? ?一直沒有找到滿意的隨機(jī)變量和、差、積、商的物理/幾何/現(xiàn)實(shí)意義，如果有了解的朋友不妨留言，不甚感激。

? ?根據(jù)均值和方差的性質(zhì),如果兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，那么：

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

? ?對(duì)于二項(xiàng)分布X~B(n,p)，每一次伯努利試驗(yàn)都相互獨(dú)立，因此：

E(X)=E(X1)+E(X2)+...+E(Xi)+...+E(Xn)=p+p+...+p+...p=np

D(X)=D(X1)+D(X2)+...+D(Xi)+...+D(Xn)=p(1-p)+p(1-p)+...+p(1-p)+...+p(1-p)=np(1-p)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的二项分布均值和方差的简单推导的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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