一個正在進行信息化建設的國家級貧困縣，需要在下屬9個鄉鎮之間架設光纖網絡。為減少建設難度，光纖網主要沿著這9個鄉鎮之間互連的公路進行鋪設。這9個鄉鎮之間的公路網以及相互之間的距離(單位：km)如下圖所示：

如果你是工程師，該怎樣設計線路鋪設方案？當然，你可以直接把所有的公路網都鋪設上光纜，這樣的線路總長度是247公里。但如果你是這樣想的，那么我一定會懷疑你到底是不是一名工程師！

你可以再設計一種方案，如下圖中粗線條所示：

這種鋪設方案的線路總長是161公里，這比前面的強多了。再進一步，你還可以得到2種更短的鋪設線路：

這2種線路的總長分別是100km和95km。顯然比前面的方案節省了更多。當然，這種線路方案你還可以列出很多。

在這個實際應用中，我們的目的，是要尋求一種連接圖中所有節點的、成本最低的方式。本質上，再抽象一層，這是個組合優化問題，可以使用一些智能優化算法來解決。而在這個實例上，我們尋求使用更簡單的圖論方式解決。

當然，這是個老問題了，至少在20世紀初就已經提出了，它的解決方案最初是1926年由捷克數學家在構建一個電力網絡的過程中首先提出來的。這種方式經常被用于架設電網、通信網、公路網、鐵路網，甚至是架構某種形式的計算集群（這些任務都需要我們連接其中的每一個節點），也是解決旅行商問題的基礎。

再回到這個問題本身，要包含圖中所有的頂點n，同時代價最少，第一個想到的自然是減少邊的數量，而要連接所有n個頂點，顯然至少需要n-1條邊。而我們知道一顆樹(tree)就是n個頂點，n-1條邊。

所以，這里引申出圖論中的一個新概念：生成樹(spanning tree)。含有圖中全部n個頂點，以及包含圖中某些n-1條邊的一顆樹是該圖的生成樹。有幾個情況需要注意：

• 圖本身必須是無向連通圖；
  如果是非連通圖，那就不存在生成樹的概念。我們知道樹中任意2點都是連通的。如果是有向圖，那也沒有這個概念。
• 生成樹不止一種；
  生成樹的n-1條邊可以在圖的邊集合中選擇，當然不止一種情況。
• 每個生成樹代價不同。
  一般使用生成樹中邊的權重值總和代表每個生成樹的代價。
  而我們的工作就是要找到所有生成樹中代價最小的，這就是最小生成樹(minimum spanning tree)問題。

那么，我們構建最小生成樹的時候，要從哪里著手呢？

首先，我們從邊出發，先找到最短的邊。

如上圖所示，邊e-i顯然是最短的。最小生成樹會不會一定包含這條邊？根據上面的描述，生成樹要包含所有的頂點，因此，生成樹一定包含e，i兩個頂點，所以也必然包含一條e，i之間的路徑。我們隨便構成一個生成樹，見下圖：

圖中粗線條為構成的生成樹，并不包含最短邊e-i。e,i之間的路徑是e-f-j-d-b-a-i，如果我們將邊e-i加入這個生成樹，必然構成環。

要消除這個環，從而構成新的生成樹，我們可以移除e-f-j-d-b-a-i-e環路上除邊e-i的其他任意一條邊。例如，移除a-b或b-d。我們看看移除b-d，構成了一個新的生成樹。

這個新的生成樹與原先的生成樹就差在一個包含邊b-d，不包含邊e-i，一個包含邊e-i，不包含b-d。而新的生成樹代價比原先的生成樹代價低，因為邊e-i是最短的，代價比邊b-d要小。

因此，無論移除其他邊中的哪條邊，重新構成新的生成樹都比最先的生成樹代價小。因為哪條邊的代價都比邊e-i的代價要大。也就是說，任何不包含最短邊的生成樹結構都可以被做的更小。所以，最小生成樹一定包含最短邊。（后面的文章我們將看到，這也是最小生成樹算法Kruskal的基本思想）。

其次，我們從頂點出發，來看看有什么新的結論。還是上面的圖，我們以頂點b為例，根據生成樹的定義，頂點b與其它頂點肯定是連通的。而頂點b有2條邊，即邊a-b，邊b-d。這意味著最小生成樹必然包含這2條邊中的一個。而邊b-d比a-b要短，因此選擇b-d是否更合理？

我們用反證法證明下，假設選擇較長的邊a-b是更好的選擇，即最小生成樹包含a-b這條邊。我們把邊b-d也加入這個生成樹，形成了一個環。在這個環中，如果移除邊a-b，那么得到的新生成樹代價比以前的要小，這與假設的選擇較長邊更好相矛盾。所以在b點選擇較短的邊才有可能生成最小生成樹。（后面的文章我們將看到，這也是最小生成樹算法Prim的基本思想）。

參考文獻：

1.《大話數據結構》 程杰 清華大學出版社
2.《Python算法教程》Magnus Lie Hetland 人民郵電出版社

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图论（八）最小生成树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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