前面我們介紹過了圖像的二階導數，并且指出，二階導數比一階導數有更好的細節增強表現。那么，其原理是什么呢？

我們仍然簡化問題，考慮下x方向，選取某個像素，如下圖所示：

可以看出，在圖中標紅色框框的像素附近是一個明顯的分界線，上面是一片平坦的灰度區域，下面是灰度緩慢變化的區域。而且有著明顯的灰度突變：從100突變到50。我們可以把這個看作圖像中物體的輪廓邊緣。

根據前幾篇文章的介紹，圖像在x方向的一階導數和二階導數分別是：

?f?x=f(x+1)?f(x)

?2f?x2=f(x+1,y)+f(x?1,y)?2f(x,y)

我們根據上面的式子計算下這個像素x方向上的一階導數和二階導數，如下圖所示：

我們注意到：對于一階導數，除了灰度突變的地方，其它灰度緩慢變化的地方數值相同，而且符號也相同。而二階導數在灰度緩慢變化的地方數值為0，而在灰度突變的地方有符號相反的2個數值。也即二階導數產生了一個像素寬的雙邊緣。

前面提到，求一階導數時，用的是絕對值，而二階導數并沒有用絕對值，因為在邊緣處，有符號相反的二階導數值，可以強化這個邊緣的對比度。如下圖所示：

我們看到，原圖像與二階導數圖像合并后，在灰度均勻或灰度緩慢變化的地方，圖像并沒有任何改變；但在灰度突變的邊緣處，原來是100和50的灰度差別，現在是150和10的灰度差別，對比度增強了很多。

因為二階導數產生了一個像素寬的雙邊緣，且2個邊緣的二階導數值符號相反，因此在合并圖像時，就要考慮符號的問題，不然就適得其反。如果像一階導數那樣，使用了絕對值，那么這種雙邊緣的對比反差就沒有了，所以二階導數也就沒有使用絕對值。

一般來說，二階導數比一階導數獲得的物體邊界更加細致。但是，顯而易見的，二階導數對噪聲點也更加敏感，會放大噪聲的影響。看看下圖就明白了：

在一片灰度均勻的區域，有一個噪聲點，經過二階導數處理后，噪聲點更加孤立明顯了，尤其在這些灰度平滑區域更加的顯眼，噪聲被放大了。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的图像二阶导数的本质的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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